Основные тригонометрические тождества:

• sin² α + cos² α = 1

• tg α · ctg α = 1

• tg α = sin α ÷ cos α

• ctg α = cos α ÷ sin α

• 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α

• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

18. Пропорциональные отрезки в круге.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к одной окружности, равны, а отрезок соединяющий вершину угла, образованного этими секущими, и центр окружности, является биссектрисой этого угла

Если две хорды одной окружности пересекаются в одной точке, то произведение отрезков первой хорды равно произведению отрезков другой хорды

Перпендикуляр, проведенный из точки на окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков на которые он делит этот диаметр

Если из точки вне окружности проведены секущая и касательная, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей от общей точки

Если хорда перпендикулярна диаметру, то она разбивается диаметром на две равные части

Если из точки лежащей вне окружности проведены две секущие, то произведения отрезков этих секущих от общей точки равны

19. Свойства углов связанных с окружностью.

Определения:

Центральный угол – угол, вершиной которого является центр окружности, а стороны пересекают эту окружность

Вписанный угол – угол, вершиной которого является точка, лежащая на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Свойства:

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается

• вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой

• вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями его сторон

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами

Угол, составленный касательной и хордой одной окружности, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него

20. Замечательные точки треугольника

Точка пересечения биссектрис – центр вписанной окружности

Точка, лежащая внутри угла, лежит на его биссектрисе тогда и только тогда, когда равноудалена от сторон данного угла

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Точка пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности

Точка принадлежит серединному перпендикуляру тогда и только тогда, когда равноудалена от концов данного отрезка

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке

Точка пересечения медиан – центроид, или центр масс

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины

Точка пересечения высот – ортоцентр треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Высоты пересекаются:

• внутри треугольника, если он остроугольный

• вне треугольника, если он тупоугольный

• в вершине прямого угла, если треугольник прямоугольный

Прямая Эйлера:

Точка пересечения медиан (M), центр вписанной окружности (O), и точка пересечения высот (H) лежат на одной прямой, причем OM:MH=1:2, причем не в равнобедренном треугольнике