IX. Рішення змішаної задачі для хвильового рівняння методом сіток

9.1. Постановка задачі. Алгоритм методу

Розглянемо змішану задачу (тобто задані початкові і граничні умови) для хвильового рівняння

(9.31)

В області з початковими умовами

(9.32)

і граничними умовами

(9.33)

Будемо припускати, що f(x) і g(x) – досить гладкі функції, причому виконуються умови узгодження в двох кутах області D при x=0,t=0 і x=L,t=0, тобто , , що забезпечують існування і єдиність рішення u(x,t).

Для дискретизації вихідної задачі побудуємо в області

прямокутну сітку

де .

Використовуючи для апроксимації частинних похідних центральні різниці другого порядку (1.10), для кожного внутрішнього вузла сітки одержимо систему різницевих рівнянь

, (9.34)

які апроксимують хвильове рівняння (9.31) у вузлі з похибкою . Тут — наближене значення функції и(х, t) у вузлі .

Позначивши , одержимо т р и ш а р о в у р і з н и ц е в у с х е м у:

(9.35)

Схема (9.35) називається тришаровою тому, що зв'язує між собою значення функції u(x,t) на трьох часових шарах з номерами . Різницевій схемі (9.35) відповідає тришаровий шаблон типу «хрест» (див. рис.4.)

Рис.4.

Схема (9.35) зв'язує значення на трьох шарах за часом, і щоб перейти на рівень (к+1), необхідно знати як , так і , що є наслідком того, що диференціальне рівняння (9.31) містить другу похідну за часом. Чисельне рішення задачі (9.31)—(9.33) полягає в обчисленні наближених значень рішення u(х, t) у вузлах при . Схема обчислень по (9.35) є явною, вона дозволяє обчислити приблизно значення функції у вузлах (к+1)-го шару за відомими її значеннями на двох попередніх шарах. На перших двох шарах значення функції визначаються з початкових умов (9.32). Вважаємо

. (9.36)

Для похідної за часом застосовуємо апроксимацію (1.5)

(9.37)

звідси одержимо . (9.38)

Порядок апроксимації (9.37) дорівнює . Зауважимо, що (9.36), (9.38) дають рішення для перших двох рядків: k= 0, к=1. Підставляючи к=1 у (9.35), одержимо:

. (9.39)

Усі доданки правої частини рівняння (9.39) включають значення тільки з перших двох рядків сітки; але всі ці значення відомі з початкових умов. Після цього, знаючи рішення і , можна по (9.35) обчислити значення функції на третьому тимчасовому шарі, четвертому і т.д.

Описана вище схема обчислень (9.35)—(9.38) апроксимує задачу (9.31)—(9.33) з точністю . Невисокий порядок апроксимації по t пояснюється використанням занадто грубої апроксимації для похідної по t у формулі (9.37).

Розглянемо тепер питання збіжності і стійкості. Не наводячи тут доказів, обмежимося формулюванням остаточних результатів. Схема обчислень буде стійкою, якщо виконується умова Куранта

. (9.40)

Це означає, що при виконанні (9.40) малі похибки, що виникають, наприклад, при обчисленні на першому шарі, не будуть необмежено зростати при переході до кожного нового тимчасового шару. При виконанні умови Куранта різницева схема (9.35) має рівномірну збіжність, тобто при рішення різницевої задачі (9.35)—(9.38) рівномірно прямує до рішення вихідної задачі (9.31)—(9.33).

Умова (9.40) є достатньою для збіжності, але не є необхідною. Іншими словами, існують рівняння і величини інтервалів, для яких (9.40) не виконується, але усе-таки виходить правильний результат. Вся справа в тому, що тоді не можна гарантувати збіжність. У загальному випадку, звичайно, бажано забезпечити збіжність напевно, і тому вимога дотримання умови (9.40) обов'язкова.

Таким чином, як тільки обрана величина кроку h у напрямку х, то з'являється обмеження на величину кроку за часом. Відмінна риса всіх явних методів полягає в тому, що при їхньому використанні повинна дотримуватися деяка умова типу (9.40), що забезпечує збіжність і стійкість методу.