5.2. Обчислювальна схема (алгоритм) рішення неявної різницевої схеми методом прогону
1. Будуємо прямокутну сітку з кроком h по осі Ох і кроком т по осі Ot:
а)
.
б)
2.
Обчислюємо
.
3.
Обчислюємо
4.
Обчислюємо
5.
Задаємо
.
6.
Обчислюємо
7. Обчислюємо
.
8.
Обчислюємо
9.
Обчислюємо
10. Задаємо к=2 і повторюємо пункти 6,7,8,9.
11. Задаємо к=3,4,…m і повторюємо пункти 6,7,8,9.
5.3. Блок-схема алгоритму Структурна схема програми рішення першої крайової задачі для рівняння параболічного типу за неявною різницевою схемою методом прогону
5.4. Програма рішення першої крайової задачі дня рівняння параболічного типу методом прогону (за неявною схемою)
program Nejavn_scheme;
uses Crt;
type Table=array[0..100,0..100] of Real;
LineTable=array[0..100]of Real;
var u: Table; k,i,n,m: Integer; L,h,tay,a,lambda: Real;
P,Q: LineTable;
function F(x: Real): Real; {u(x,0)}
begin
F:=sin(x+1)
end;
function Fi(x: Real): Real; {u(0,k)}
begin
Fi:=x+0.8415
end;
function Psi(x: Real): Real; {u(n,k)}
begin
Psi:=4*x+0.9093
end;
begin
ClrScr;
{ввід початкових умов}
WriteLn('введіть L, крок по осі x (h), крок по осі y (tay), кількість часових шарів, параметр a:');
ReadLn(L,h,tay,m,a);
n:=Trunc(L/h+0.5); {кількість кроків по осі х}
{обчислюються значення в початкових вузлах з допомогою початкових умов}
for k:=1 to m do begin
u[0,k]:=Fi(k*tay);
u[n,k]:=Psi(k*tay);
end;
for i:=1 to n-1 do u[i,0]:=f(i*h);
lambda:=tay*sqr(a)/sqr(h); {шаг по t}
k:=1;
P[1]:=lambda/(1+2*lambda);
Q[1]:=(u[1,k-1]+lambda*fi(k*tay))/(1+2*lambda);
{основна обчислювальна процедура}
for k:=2 to n-1 do begin
for i:=2 to m do begin
P[i]:=lambda/(1+2*lambda-lambda*P[i-1]);
Q[i]:=(u[i,k-1]+lambda*Q[i-1])/(1+2*lambda-lambda*P[i-1])
end;
u[n-1,k]:=(u[n-1,k-1]+lambda*fi(k*tay))/(1+2*lambda-lambda*P[n-2]);
for i:=n-2 downto 1 do u[i,k]:=Q[i]+P[i]*u[i+1,k];
end;
{вивід результатів}
WriteLn('результати обчислень:');
Write(' ');
for i:=0 to n do Write(' ', i:4,' ');
WriteLn;
Write(' ');
for i:=0 to n do Write (' ',i*h:1:3);
for k:=0 to m do begin
WriteLn; Write(k:2,' ');
for i:=0 to n do Write(u[i,k]:1:3,' ');
end;
WriteLn;
WriteLn('кількість кроків по осі OX = ', n:2);
WriteLn('крок розбиття = ', h:1:5);
WriteLn('крок по часовому шару = ', tay:1:5);
WriteLn('кількість кроків = ', m:2);
ReadKey
end.
VI. Лабораторна робота 2
РІШЕННЯ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ РІВНЯННЯ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ МЕТОДОМ СІТОК ЗА НЕЯВНОЮ СХЕМОЮ
Завдання
1. Вирішити задачу (2.12)—(2.14) методом сіток, використовуючи завдання попередньої лабораторної роботи.
2. Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.26) здійснити методом прогону.
Контрольний приклад
З а в д а н н я. Використовуючи метод сіток, скласти рішення змішаної задачі для диференціального рівняння параболічного типу
(рівняння теплопровідності)
при заданих граничних і початкових умовах:
, , , де .
Рішення виконати при h=0,1 по аргументу x та t=h2/6 по аргументу t.
.
Внесемо конкретні дані задачі у вищенаписану програму і одержимо відповідь у вигляді таблиці з результатів обчислень:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
0 0.000 0.467 0.905 1.286 1.579 1.750 1.769 1.610 1.258 0.714 0.000
1 0.027 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003
2 0.053 0.359 0.046 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.007
3 0.080 0.363 0.082 0.015 0.002 0.000 0.000 0.000 0.003 0.015 0.010
4 0.107 0.367 0.110 0.026 0.005 0.001 0.000 0.001 0.005 0.025 0.013
5 0.134 0.370 0.134 0.037 0.009 0.002 0.001 0.002 0.009 0.036 0.017
6 0.160 0.372 0.153 0.049 0.013 0.003 0.001 0.003 0.013 0.048 0.020
7 0.187 0.374 0.169 0.060 0.018 0.005 0.002 0.005 0.018 0.060 0.024
8 0.214 0.376 0.183 0.071 0.023 0.007 0.003 0.007 0.023 0.073 0.027
9 0.240 0.377 0.194 0.081 0.029 0.009 0.005 0.010 0.030 0.086 0.030
10 0.267 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.034
Кількість розбивок по осі OX = 10
Крок розбивки= 0.10000
Крок по часовому шару= 0.00167
Кількість кроків = 10