IV. Лабораторна робота 1

РІШЕННЯ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ - ДЛЯ РІВНЯННЯ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ МЕТОДОМ СІТОК ЗА ЯВНОЮ СХЕМОЮ

Завдання. Використовуючи метод сіток, скласти рішення змішаної задачі для диференціального рівняння параболічного типу

(рівняння теплопровідності) при заданих початкових і граничних умовах:

Рішення виконати при h =0,1 по аргументу x і по аргументу t.

Варіанти індивідуальних завдань

1.

2. .3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Контрольний приклад

З а в д а н н я. Використовуючи метод сіток, знайти розв’язок змішаної задачі для диференціального рівняння параболічного типу (рівняння теплопровідності) при заданих граничних і початкових умовах: , , , де .

Рішення виконати при по аргументу та по аргументу .

.

У вищенаписану програму вводимо конкретні дані і одержуємо відповідь у вигляді результатів обчислень:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000

0 0,000 0.467 0.905 1.286 1.579 1.750 1.769 1.610 1.258 0.714 0.000

1 0.027 0.311 0.759 1.159 1.481 1.693 1.763 1.663 1.375 0.895 0.003

2 0.053 0.216 0.610 1.026 1.374 1.622 1.739 1.696 1.471 1.055 0.007

3 0.080 0.162 0.479 0.887 1.258 1.540 1.700 1.711 1.546 1.194 0.010

4 0.107 0.135 0.373 0.751 1.134 1.446 1.647 1.707 1.601 1.311 0.013

5 0.133 0.125 0.294 0.625 1.007 1.342 1.580 1.687 1.636 1.408 0.017

6 0.160 0.128 0.237 0.514 0.879 1.230 1.500 1.651 1.653 1.484 0.020

7 0.187 0.139 0.201 0.422 0.758 1.113 1.410 1.601 1.653 1.540 0.023

8 0.213 0.155 0.180 0.348 0.646 0.995 1.311 1.537 1.635 1.578 0.027

9 0.240 0.174 0.172 0.292 0.547 0.878 1.206 1.462 1.603 1.597 0.030

10 0.267 0.196 0.173 0.252 0.462 0.768 1.097 1.377 1.556 1.599 0.034

Кількість розбивок по осі OX = 10; Крок розбивки = 0.10000

Крок по часовому шару = 0.00167: Кількість кроків = 10.

V. Неявна різницева схема

5.1. Побудова неявної різницевої схеми

Вищерозглянутий кінцево-різницевий метод (2.15) рішення задачі (2.12)—(2.14) називається явним тому, що значення рішення u_i,k+1 на наступному тимчасовому шарі обчислюються в явному вигляді за формулами (2.16) через значення на попередньому шарі u_i,k. При зменшенні кроку h по просторовій координаті умова (2.22) накладає більш тверді обмеження на величину кроку за часом. Це може привести до того, що нам доведеться рухатися за часом зі значно меншим кроком, ніж це обумовлено залежністю від часу самого диференціального рівняння. Вимога зменшення кроку за часом являє собою загальну проблему, що виникає при рішенні параболічних рівнянь за допомогою явних кінцево-різницевих методів. Ця ж вимога є основним спонукальним мотивом для використання так званих неявних методів.

Метод, що привів до рівняння (2.16), був заснований на використанні правих кінцевих різниць (1.5). Якщо використовувати ліві кінцеві різниці (1.8), то одержимо неявну різницеву схему наступного виду:

(5.24)

Шаблон — сукупність вузлів, що беруть участь у даній різницевій схемі, представлено на рис. 2

Рис.2

Систему рівнянь (5.24) можна переписати у вигляді

(5.25)

де i=1,2,3,…n-1,

Ця система в матричній формі матиме вигляд:

..

(5.26) .

Ненульові коефіцієнти розташовані по трьох діагоналях симетрично головній діагоналі. Це так звана тридіагональна матриця. Знаючи значення на (к-1)-ому тимчасовому шарі, ми можемо в явному вигляді знайти значення на к-му шарі, тому що рівняння (5.25) містить відразу три невідомі величини: , ми повинні розглядати (5.25) як систему алгебраїчних рівнянь, що визначає значення при кожному фіксованому значенні k. У цьому складається одне з основних розходжень між явними (2.15) і неявними (5.25) схемами, а саме: у явних схемах ми маємо явні формули (2.16), що дозволяють виразити через значення в попередні моменти часу, а в неявних схемах для переходу на наступний часовий шар доводиться вирішувати систему рівнянь (5.26).

Для першого рядка (к = 1), використовуючи початкові і граничні умови (2.13)—(2.14), одержимо систему рівнянь:

(5.27).

Тут Усього виходить (n -1) лінійних алгебраїчних рівнянь з (n- 1) невідомими для

Зауважимо, що система (5.26) має діагональне перетворення: діагональний коефіцієнт у кожному рівнянні дорівнює ( ), і сума недіагональних коефіцієнтів дорівнює (- ). Для рішення (5.26) можна застосовувати будь-який алгоритм рішення систем лінійних рівнянь. Вирішити цю систему можна за допомогою ітераційного методу Гауса-Зейделя, тому що діагональна перевага матриці забезпечує збіжність. Однак цю систему раціональніше розв’язувати методом прогонки.

Знайшовши рішення для першого часового рядка, тобто для , можна записати систему рівнянь для другого рядка і знову одержати тридіагональну систему з (п-1) рівнянь з (п- 1) невідомими. Після рішення цієї системи можна переходити до третього рядка і так далі. Вирішивши систему (5.26) при k = , ми тим самим знайдемо наближене значення и(х, t) рішення задачі (2.12) - (2.14) у всіх внутрішніх вузлах сітки. Похибка для наближеного розв’язку буде величиною порядку О( + h²).

Хоча система (5.26) може бути вирішена досить ефективно, неявна схема вимагає більших витрат на одному кроці за часом, ніж явна схема (2.16). Однак чудовою властивістю неявної схеми є її стійкість при будь-яких значеннях параметра , що в багатьох випадках дозволяє використовувати більший крок за часом, ніж у явній схемі, і тим самим суттєво скоротити необхідний машинний час. Щодо неявної схеми (5.26), говорять, що вона безумовно стійка, розуміючи при цьому стійкість при будь-якому відношенні і h.

Використання неявних методів стало звичайною практикою при чисельному рішенні параболічних рівнянь у частинних похідних. Справа в тому, що виграш, зв'язаний з гарною стійкістю неявних схем, значно перевищує ту додаткову роботу, що зв'язана зі зменшенням кроку за часом.