12.2. Алгоритм чисельного рішення задачі Діріхлє для рівняння Лапласа ітераційним методом Гауса-Зейделя
1. Область D неперервної зміни аргументів заміняється кінцевою (дискретною) множиною точок (вузлів) сітки:
, де h
– крок по осі ох, l-
крок по осі оу,
2. Обчислюємо граничні значення рішення:
a)
б)
3. Задаємо
початкові значення рішення
у всіх внутрішніх вузлах сітки:
.
4.
Знаходимо наближені рішення у всіх
внутрішніх вузлах сітки по
(12.52),
проходячи значення
при кожному
,
прийнявши як критерій закінчення
ітераційного процесу умову
(12.53).
12.3. Структурна схема програми рішення задачі Діріхлє для рівняння Лапласа методом сіток
12. 4. Програма рішення задачі Діріхлє для рівняння Лапласа
program Dirikhle_Prob;
uses Crt;
const
n=10; m=10; e=0.001; h=1;l=1;
var
u:array[0..m*trunc(1/l)+1,0..n*trunc(1/h)+1] of real;
i,j,it,m1,n1:integer;
r,d,unew:real;
p:boolean;
procedure Libman;
begin
p:=false;
for i:=1 to m1-1 do begin
for j:=1 to n1-1 do begin
unew:=0.25*(u[i+1,j]+u[i-1,j]+u[i,j-1]+u[i,j+1]);
d:=abs(unew-u[i,j]);
if d>e then p:=true;
u[i,j]:=unew;
end;
end;
end;
function F1(x:real):real; {u[0,k]}
begin
F1:=0;
end;
function F2(x:real):real; {u[n,k]}
begin
F2:=64-12*x;
end;
function F3(x:real):real; {u[i,0]}
begin F3:=x*x*x;
end;
function F4(x:real):real; {u[i,m]}
begin
F4:=x*x*x-27*x;
end;
begin
ClrScr;
n1:=trunc(n/h);
m1:=trunc(m/l);
{початкові значення вузлів}
for i:=0 to m1 do begin
for j:=0 to n1 do u[i,j]:=0;
end;
for j:=0 to m1 do u[0,j]:=F1(j*h);
for j:=0 to m1 do u[n1,j]:=F2(j*h);
for i:=1 to n1 do u[i,0]:=F3(i*h);
for i:=1 to n1 do u[i,m1]:=F4(i*h);
{основні обчислення}
Libman;it:=1;
while p and (it<100) do begin
Libman;it:=it+1;
end;
{вивід результатів}
WriteLn('результати обчислень:');
Write(' ');
for j:=0 to n1 do write(j*h:2,' ');
WriteLn(' ');
Write(' ');
for i:=m1 downto 0 do begin
Write(' ',(i*l):2,' ');
for j:=0 to n1 do Write(u[i,j]:5:2,' ');
WriteLn(' ');
end;
WriteLn(' ');
Write(' ');
for j:=0 to n1 do Write(j*h:2,' ');
WriteLn(' ');
WriteLn(' ');
WriteLn('число ітерацій: ',it:2);
WriteLn('похибка e= ',e:1:3);
ReadKey
end.
XIII. Лабораторна робота 5
З а в д а н н я 4. Знайти наближене рішення задачі Діріхлє для рівняння Лапласа
у квадраті
з вершинами:
,
з граничними умовами виду:
,
,
,
,
вибравши
квадратну сітку з шагом
з точністю рішення
.
ВАРІАНТИ КОНТРОЛЬНИХ ЗАВДАНЬ
№ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
3 |
0 |
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
0 |
0 |
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
0 |
|
0 |
9 |
0 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
40 |
|
40 |
14 |
|
0 |
|
|
15 |
|
|
|
20 |
16 |
|
|
0 |
|
17 |
|
|
|
|
18 |
|
0 |
|
|
19 |
|
|
0 |
|
20 |
|
30 |
30 |
|
21 |
|
|
|
|
22 |
|
|
0 |
|
23 |
|
|
|
20 |
Варіанти індивідуальних завдань(закінчення) |
||||
№ |
) |
|
|
|
24 |
|
0 |
|
|
25 |
|
|
|
|
)
