11.2. Принцип максимуму. Оцінка похибок і збіжність рішень різницевих рівнянь

Велику роль для різницевих рівнянь (11.44) відіграє теорема, що називається принципом максимуму.

Теорема (принцип максимуму). Кожне рішення різницевого рівняння (11.44) приймає своє найбільше і найменше значення в деяких точках границі області D.

Доведення цієї теореми дано у відповідних книгах, наприклад: Калиткин Н. Н. Численные методы.-М.: Наука, 1978.-512 с. Згідно з принципом максимуму для значень шуканої функції повинні бути виконані нерівності , де f(x, у) – задана нерерервна на границі області D функція, т = тіn f(x,у). M = тах f(x,у). Можна довести, що принцип максимуму, справедливий для системи різницевих рівнянь, еквівалентний стійкості різницевої схеми. Але тоді, так само, як і для звичайних диференціальних рівнянь, рішення різницевих рівнянь при h збігається до точного рішення крайової задачі зі швидкістю, обумовленою порядком апроксимації рівняння і граничних умов. Таким чином, для точного рішення u(х,у) маємо оцінку похибки:

. (11.46)

Оцінка похибки (11.46) справедлива, якщо точне рішення чотирикратно неперервно диференційовне в області D. Для області з кутовими точками, наприклад, прямокутника, в загальному випадку, и(х,у) не задовольняє цим умовам. Однак якщо граничні функції, тобто функції

задовольняють у кутах спеціальним

умовам узгодження: рівність в кутових точках обох граничних функцій

, ,

то оцінка (11.46) є вірною.

Крім того для прямокутної області такими умовами узгодження можуть бути:

1) достатня гладкість функцій; .

2) ці функції повинні задовольняти в кутах прямокутника деякому диференціальному рівнянню,

Оцінка похибки (11.46) має в основному теоретичне значення, оскільки її практично важко визначити. Тому в реальних розрахунках використовується правило Рунге оцінки похибки, аналогічне тому, що застосовується в чисельному інтегруванні і рішення звичайних диференціальних рівнянь. Проводяться два варіанти розрахунку: із кроком h і з кроком h/2. Тоді похибка має вигляд

і головна частина її визначається на співпадаючих вузлах.

11. 3. Рішення еліптичної різницевої схеми

Найбільш простий вид різницева схема (11.44)— (11.45) має при l = h:.

1.47)

Розглянемо докладно систему лінійних рівнянь (11.47). Почнемо з i=1, k= 1 і при незмінному k пройдемо значення :

(11.48)

Tепер збільшимо k до 2 і знову пройдемо значення :

(11.49)

Структура рівнянь систем (11.48), (11.49) досить очевидна. Так, зокрема, кожне рівняння, що відповідає внутрішній точці (внутрішньою називають точку, яка не прилягає до границі) містить тільки невідомі, а рівняння для внутрішніх вузлів, що примикають до правої частини – принаймні одне значення , яке задається граничними умовами. Якщо продовжити і далі в такий же спосіб, збільшуючи щоразу k (кінцеве число к = n-1) і проходячи значення , у підсумку одержимо системи, що володіють тією ж самою структурою.

Отже, різницева схема (11.47) має наступні властивості:

1. Переважна частина елементів матриці коефіцієнтів при дорівнює нулю.

2. Яке б не було n, у кожному рядку матриці знаходиться не більше n¢яти відмінних від нуля елементів.

Остання властивість зв’язана з тим, що похідні в кожному внутрішньому вузлі апроксимувалися за п’ятьма сусідніми вузлами (рис. 5). Такі матриці називають звичайно розрідженими матрицями, і вони виникають не тільки при чисельному рішенні диференціальних рівнянь у частинних похідних, але й у цілому ряді інших задач. Для рішення систем лінійних рівнянь з розрідженими матрицями розроблено досить ефективні прямі методи рішення — варіанти Гаусового виключення зі спеціальним збереженням (упакуванням) матриці в пам’яті ЕОМ і спеціальною обробкою. Прямим алгоритмам рішення розріджених систем присвячено багато книг з методів наближених обчислень наприклад: Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.-592 с. або Тьюарсон Р. Разреженные матрицы.-М.: Мир, 1977.