5. Интегральный признак Коши и Маклорена сходимости рядов с положительными членами
Th 1.
Пусть функция f(x)
непрерывна, неотрицательна и невозрастающая
на
.
Если
,
,
то ряд
(1)
и несобственный интеграл
сходятся и расходятся одновременно.
□
Пусть
n-ая частичная сумма ряда
и пусть
.
Покажем, что при всех n=1,2,…
справедливы неравенства
(2).
Действительно,
- площадь ступенчатой фигуры, а
- площадь криволинейной трапеции. Для
непрерывной, неотрицательной,
невозрастающей f(x)
неравенство (2) выполняется (см. рис. 1).
1. Предположим, что ряд (1) сходится,
следовательно существует и конечен
,
следовательно существует и конечен
,
как предел неубывающей последовательности
ограниченной сверху (S).
Следовательно
сходится.
2. Предположим, что
сходится, тогда
существует и конечен, но тогда в силу
правой части (2)
существует и конечен, как предел
неубывающей последовательности
ограниченной сверху (
),
следовательно (1) сходится.
■
Замечание. О сходимости
гармонического ряда. Так как
несобственный интеграл
сходится при всех
и расходится при остальных
,
то в силу предыдущей теоремы ряд
сходится при
и расходится при всех остальных.
6. Знакочередующиеся ряды
Числовой ряд
называется знакочередующимся, если для
любого n
,
т.е. если соседние члены ряда имеют
разные знаки.
Знакочередующиеся ряды обычно записывают
в виде
,
где все
. (1)
Th Лейбница. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.
Пусть ряд (1) таков, что
(2)
и
, (3)
тогда ряд (1) сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенству
. (4)
□
Рассмотрим сумму 2m первых членов ряда (1) записывая ее в следующих двух видах:
(5)
и
(6)
В силу соотношений (2) и (5) величина S2m
является неубывающей, а в силу (2) и (6)
она ограничена сверху числом c1,
следовательно, конечный предел
,
удовлетворяющий неравенствам (4).
В силу неравенства (3):
,
следовательно,
и выполняется (4).
■
Замечание 1. Остаток знакочередующегося
ряда (1) после nего членов
сам является знакочередующимся рядом,
удовлетворяющим тем же условиям (2) и
(3), следовательно, его сумма
удовлетворяет неравенству
.
Отсюда, в частности, вытекает, что
отбрасывание остатка в знакочередующихся
рядах приводит к погрешности в вычислении
суммы, не превышающей первого из
отброшенных членов.
Ряд
- сходится по теореме Лейбница, его сумма
приближенно равна
с погрешностью
.
7. Знакопеременные ряды
Числовой ряд (1) называется знакопеременным, если среди его членов содержатся как положительные, так и отрицательные числа.
Th 1. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Пусть знакопеременный ряд (1) таков, что ряд
(2)
сходится, тогда и ряд (1) тоже сходится.
□
Пусть
и
- n-ые частичные суммы
рядов (1) и (2) соответственно. Пусть
и
соответственно сумма положительных
членов и сумма абсолютных величин
отрицательных членов, среди первых n
членов ряда (1). Тогда
(3)
и
(4).
Предположим, что ряд (2) сходится,
следовательно, его частичные суммы
стремятся к некоторому конечному пределу
,
причем
,
т.е.
и
.
Мы видим, что последовательности {
}
и {
}
являются неубывающими и ограниченными
сверху. Поэтому эти последовательности
имеют конечные пределы
и
соответственно.
Тогда в силу равенства (3) существует и конечный предел последовательности { } и он равен - , а это говорит о сходимости ряда (1).
■
Замечание.
Если ряд (2) сходится, то ряд (1) называют абсолютно сходящимся.
Если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.
Возможны следующие случаи
|
|
Название |
сходится |
|
абс. сходящийся |
сходится |
расходится |
усл. сходящийся |
расходится
|
расходится |
расходящийся |
сходится
Th 2. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда.
Если ряд (1) абсолютно сходится, то абсолютно сходится и имеет ту же сумму любой ряд полученный из (1) в результате какой угодно перестановки членов.
□ без доказательства ■
Th 3. О перестановке членов условно сходящегося ряда.
Если ряд (1) сходится условно, то можно так переставить члены ряда (1), что новый ряд будет сходится к любому числу или расходится.
□ без доказательства ■