Числовые ряды

1. Понятие числового ряда

Пусть дана произвольная числовая последовательность

(1)

Образуем суммы

, , ... , , ...

и составим из них новую последовательность

(2)

Предположим, что предел последовательности (2) при существует, конечен и равен . Тогда называют суммой числового ряда

(3)

который кратко обозначают:

(4)

Члены последовательности (1) называются членами ряда (3), а члены последовательности (2) – частичными суммами ряда.

Если предел частичных сумм ряда (4) существует, конечен и равен S, то ряд (4) называется сходящимся к числу S или просто сходящимся, а число S – суммой ряда. При этом пишут: .

 Пусть дан ряд или . Его члены образуют геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Из курса математики известно, что

ее сумма равна .

 Рассмотрим ряд

.

Итак, ряд сходится к единице.

Если последовательность частичных сумм (2) ряда (4) не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся, в этом случае считается, что ряд не имеет суммы.

 Рассмотрим ряд

.

- не существует, следовательно, ряд расходящийся, не имеющий суммы.

2. Простейшие свойства сходящихся рядов

Th 1. Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд (4) сходится, то .

□

Пусть n-ая частичная сумма ряда (4). Если ряд (4) сходится, то по определению существует конечный предел (3), но тогда существует и , тогда

.

■

Следствие. Достаточный признак расходимости ряда.

Если общий член ряда (4) не стремится к нулю, то ряд (4) расходится.

Замечание. Условие стремления к нулю общего члена ряда является лишь необходимым признаком, но не является достаточным.

 Рассмотрим ряд .

Поэтому - ряд расходится, однако .

Th 2.

Пусть ряд

(5)

получен из ряда (4) отбрасыванием конечного числа членов. Тогда ряды (4) и (5) сходятся или расходятся одновременно.

□

Пусть ряд (5) получен из (4) отбрасыванием каких то k членов сумма которых равна A. Пусть и - частичные суммы рядов (4) и (5) соответственно. Пусть - номер последнего из отброшенных членов. Очевидно, что для любого , тогда если существует конечный предел , то существует и конечный предел . И наоборот, если конечного предела не существует, то ряд (5) расходится. Следовательно, ряды (4) и (5) сходятся и расходятся одновременно.

■

Th 3. Критерий сходимости Коши

Для того, чтобы ряд (4) сходился необходимо и достаточно, чтобы

. (6)

□

Пусть - n-ая частичная сумма ряда (4). Ряд (4) сходится тогда и только тогда, когда имеется конечный предел последовательности частичных сумм (2), а эта последовательность по критерию Коши для предела последовательностей имеет конечный предел тогда и только тогда, когда выполняется условие (6).

■

Th 4.

Если ряд (4) сходится к числу S, то ряд , где сходится к .

□

■

Th 5.

Если ряды (4) и (5) сходятся к S и соответственно, то ряд сходится к .

□

■

Th 6.Сочетательное свойство сходящегося ряда

Пусть члены сходящегося ряда (4) объединены скобками в группы, и каждая группа считается членом нового ряда. Тогда новый ряд также сходится, а его сумма равна сумме исходного ряда.

□

Пусть - n- ая частичная сумма исходного ряда, - n-ая частичная сумма нового ряда.

Очевидно, что . Тогда

.

■