Тема 6.2. Действия над множествами
?
Пример
1.
Пусть на рисунке 2 изображены множества
A,
B
и
C.
Тогда заштрихованная область соответствует
множеству …
а)
б)
в)
г)
Решение:
Каждая точка заштрихованной области принадлежит множеству B или множеству C, значит, заштрихованная область есть объединение множеств B и C. Правильный ответ .
Ответ: а).
?
Пример
2.
Пусть на рисунке 3 изображены множества
A,
B
и
C.
Тогда заштрихованная область соответствует
множеству …
а)
б)
в)
г)
Решение:
Каждая точка заштрихованной области принадлежит множеству B. Из этого множества убраны точки, принадлежащие множеству А. Правильный ответ .
Ответ: а).
?
Пример
3.
Пусть на рисунке 4 изображены множества
A,
B
и
C.
Тогда заштрихованная область соответствует
множеству …
а)
б)
в)
г)
Ответ: г).
?Пример
4.
Даны множества
и
.
Тогда
равно …
а)
б)
в)
г)
Ответ: в).
?Пример
5.
Даны множества
и
.
Тогда
равно …
а)
б)
в)
г)
Решение:
Множество
состоит
из тех и только тех элементов, которые
принадлежат как множеству A,
так и множеству B.
Элементы 3, 4 и 5
принадлежат
и множеству A,
и множеству B;
значит,
они принадлежат пересечению этих
множеств. Имеем
.
Ответ: в).
Тема 6.3. Прямое произведение двух множеств
?Пример
1.
Пусть
,
.
Тогда прямое произведение
равно
…
а)
б)
в)
г)
Решение:
Прямое
произведение
содержит множество упорядоченных пар
вида
,
в которых x
принимает все значения из множества A,
а y
– все значения из множества B,
тогда
=
.
Ответ: г).
èЗадание
Пусть
,
.
Тогда прямое произведение
равно
…
а)
б)
в)
г)
Ответ: в).
Тема 6.4. Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества
?Пример
1.
Даны множества
и
.
Тогда верными будут утверждения …
а)
б)
в)
г)
Æ
Решение:
Множества
А
и В
заданы с помощью характеристического
свойства. Зададим их перечислением
элементов. Элементы множества A
являются корнями уравнения
.
Значит,
и утверждение «
»
ложное. Аналогично получим
.
Для
множеств A
и B
элемент 2 является общим, значит,
утверждение «
»
истинное. По этой же причине утверждение
«
Æ»
будет ложным. Объединение множеств
содержит все элементы, которые
содержатся в каждом из них, поэтому
утверждение «
»
истинное.
Ответ: верными являются утверждения б) и в).
èЗадание
1.
Даны
множества
и
.
Тогда верными будут утверждения …
а)
б)
в)
г) Æ
Ответ: а) и в).
èЗадание
2.
Даны
множества
и
.
Тогда
верными будут утверждения …
а) множество А конечно;
б)
;
в)
г) множество В конечно.
Ответ: б) и г).
èЗадание
3.
Даны
множества
и
.
Тогда верными будут утверждения
а)
б)
в)
г) Æ
Ответ: а) и б).
7. Основы теории вероятностей и математической статистики
Тема 7.1. Элементы комбинаторики
Основные формулы комбинаторики:
– перестановки
из n элементов
– размещения
из n элементов по k элементов
– сочетания
из n
элементов по k
элементов
Пример 1. Пароль состоит из 4 букв: м, н, к, л. Каждая буква встречается ровно один раз. Тогда максимальное количество возможных паролей равно …
Решение:
Число
различных паролей, состоящих из 4 букв:
м,
н, к, л,
в которых каждая буква встречается
ровно один раз, равно числу перестановок
из четырех элементов:
.
Ответ: 24.
Пример 2. Пароль состоит из 6 букв: a, b, c, d, i, j. Каждая буква встречается ровно один раз. Тогда максимальное количество возможных паролей равно …
Решение:
Число
различных паролей, состоящих из 6 букв:
a,
b,
c,
d,
i,
j,
в которых каждая буква встречается
ровно один раз, равно числу перестановок
из шести элементов:
.
Ответ: 720.
Задание 1. Код замка состоит из 5 цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Каждая цифра встречается ровно один раз. Тогда максимальное количество замков с такими кодами равно …
Ответ: 120.
Задание 2. Пин-код пластиковой карты состоит из 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5. Если бы каждая цифра встречалась ровно один раз, то максимальное количество карт с такими кодами было бы равно …
Ответ: 120.