Тема 4.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

& Определение 1. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение вида: .

Для решения такого уравнения необходимо решить характеристическое уравнение .

1. Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня k₁ и k₂ , то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид , где и – произвольные постоянные;

2. Если характеристическое уравнение имеет два совпадающих действительных корня k₁ = k₂, то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид , где и – произвольные постоянные;

3. Если характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряжённых корня , то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид , где и – произвольные постоянные.

?Пример 1. Общим решением дифференциального уравнения является …

а) б)

в) г)

Решение:

Составим характеристическое уравнение: . Его корнями являются . Значит, общим решением дифференциального уравнения будет , где – любые числа.

Ответ: а).

?Пример 2. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

а)

б)

в)

г)

Решение:

Составим характеристическое уравнение: . Его корнями являются . Значит, общим решением дифференциального уравнения будет , где – любые числа.

Ответ: б).

èЗадание 1. Общим решением дифференциального уравнения является …

а) б)

в) г)

Ответ: а).

èЗадание 2. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: . Тогда корни характеристического уравнения равны:

а) б)

в) г)

Ответ: в).

èЗадание 3. Общим решением дифференциального уравнения является …

а) б)

в) г)

Ответ: б).

5. Ряды

Тема 5.1. Числовые ряды

& Пусть задана числовая последовательность , где . Тогда выражение называется числовым рядом и обозначается . Следовательно,

Числа , … называются членами ряда, - общий член ряда.

?Пример 1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а)

Решение

б)

Решение

èЗадание 1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену

?Пример 2

а) установите соответствие между общим членом некоторого числового ряда и его четвертым членом:

Варианты ответов:

1) а)

2) б) 15

3) в)

Решение:

1. 

2. 

3. 

Ответы: 1) – б); 2) – а); 3) – в).

б) Установите соответствие между общими членами некоторых числовых рядов и пятыми членами

Варианты ответов:

1. a) 1

2. б)

в)

Решение:

1. 

2. 

Ответы: 1) – а); 2) – б).

èЗадание 2. Установите соответствие между общим числом некоторого числового ряда и его третьим членом.

Варианты ответов:

1. а)

2. б) 1,5

3. в)

èЗадание 3. Установите соответствие между общим членом некоторого числового ряда и его четвертым членом.

Варианты ответов:

1. а)

2. б) 0.8

3. в) 2

èЗадание 4. Установите соответствие между общим членом некоторого числового ряда и его пятым членом

Варианты ответов:

1. а) 2,9

2. б)

3. в) 1,92