Тема 4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

& Определение 1. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют уравнение вида .

Для решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными необходимо:

1. заменить

2. разделить переменные

3. проинтегрировать обе части уравнения с разделёнными переменными и найти общее решение

4. если задано начальное условие, то найти значение произвольной постоянной С, удовлетворяющее начальному условию и найти частное решение.

?Пример 1. Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

а) б)

в) г)

Решение:

Так как , то получаем уравнение . Данное уравнение равносильно уравнению . Тогда, интегрируя обе части , получаем где С – произвольная постоянная. Полагая , получаем _. Отсюда . Ответ можно записать так: .

Ответ: б).

?Пример 2. Дифференциальное уравнение в результате разделения переменных сводится к уравнению …

а) б)

в) г)

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению . Тогда, разделив обе части полученного уравнения на и на , получим уравнение с разделёнными переменными, (то есть, в одной части уравнения находится только «x», а в другой – только «y»): .

Ответ: а).

èЗадание 1. Дифференциальное уравнение в результате разделения переменных сводится к уравнению …

а) б)

в) г)

Ответ: б).

èЗадание 2. Дифференциальное уравнение в результате разделения переменных сводится к уравнению:

а) б)

в) г)

Ответ: в).

èЗадание 3. Дифференциальное уравнение в результате разделения переменных сводится к уравнению:

а) б)

в) г)

Ответ: в).

èЗадание 4. Дифференциальное уравнение в результате разделения переменных сводится к уравнению:

а) б)

в) г)

Ответ: а).

Тема 4.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

?Пример 1. Линейное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки _, где функция подбирается так, чтобы после подстановки получилось уравнение с разделяющимися переменными. Общим решением уравнения является …

а) б)

в) г)

Решение:

Сделаем подстановку , тогда . Подставим в исходное уравнение, получим: .Вынесем u за скобки: . В силу произвольности выбора функции найдем ее из условия . Тогда: . Проинтегрируем обе части уравнения: . Считая, что c = 0 получим , откуда . Осталось решить уравнение _. Имеем: . Окончательно получим или .

Ответ: г).

?Пример 2. Дифференциальное уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения используют подстановку: тогда . Сделав подстановку в исходное уравнение, выносят за скобки u и выражение, стоящее в скобках, приравнивают к нулю. Из полученного уравнения находят v. Остается решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Для дифференциального уравнения функцию находят из уравнения …

_а) б)

в) г)

_{Решение:}

Сделаем подстановку , тогда . Подставим в исходное уравнение, получим: . Вынесем u за скобки: . Тогда для функции получаем уравнение: .

_{Ответ: а).}

èЗадание 1. Линейное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки _, где функция подбирается так, чтобы после подстановки получилось уравнение с разделяющимися переменными. Общим решением уравнения является …

а) б)

в) г)

_{Ответ: г).}

èЗадание 2. Дифференциальное уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения используют подстановку: тогда . Сделав подстановку в исходное уравнение, выносят за скобки u и выражение, стоящее в скобках, приравнивают к нулю. Из полученного уравнения находят v. Остается решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Для уравнения функцию находят из уравнения …

а) б)

в) г)

_{Ответ: в).}