3. Интегральное исчисление

Тема 3.1. Неопределенный интеграл

?Пример 1. Неопределенный интеграл равен …

а)

б)

в)

г) .

Решение:

Напоминаем, что постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: Тогда, и, используя формулу , получим:. .

Ответ:

?Пример 2. Неопределенный интеграл равен …

а)

б)

в)

г) .

Решение:

Напоминаем, что интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций и постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: Тогда, и, используя формулы и , получим: .

Ответ:

Задание Неопределенный интеграл равен …

Ответ:

Тема 3.2. Методы вычисления неопределенных интегралов

?Пример 1. Неопределенный интеграл равен …

а)

б)

в)

г)

Решение:

Напоминаем, что табличный интеграл . Но так как в исходном интеграле перед аргументом х стоит коэффициент , то по формуле получаем: .

Ответ: б).

?Пример 2. Неопределенный интеграл равен …

а)

б)

в)

г)

Решение:

Подстановка 5x + 1 = t приводит рассматриваемый интеграл к табличному: Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: 5dx = dt, тогда Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл: Заменив t его выражением из подстановки, получим: .

Ответ: а) .

Задание Неопределенный интеграл равен …

а)

б)

в)

г)

Ответ: г).

Тема 3.3. Определенный интеграл

?Пример 1. Определённый интеграл равен …

Решение:

Используя табличную формулу и формулу Ньютона – Лейбница , получим: .

Ответ: 10.

?Пример 2. Определённый интеграл равен …

Решение:

Используя свойства определённого интеграла , и свойства степени и исходный интеграл можно представить в виде:

и, применяя табличную формулу и формулу Ньютона – Лейбница , получим:

.

Ответ: 20

Задание 1. Определенный интеграл равен …

Ответ: 9.

Задание 2. Определенный интеграл равен …

Ответ: 18

Тема 3. 4. Свойства определенного интеграла

?Пример 1. Определённый интеграл равен …

Решение:

Используя свойства определённого интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:

.

Ответ: 60.

èЗадание Определенный интеграл равен …

Ответ: 14.

Тема 3.5. Геометрические приложения определенного интеграла

 Определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс OX и вертикальными прямыми х = а и х = в (см. рис. 1).

?Пример 1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми x = 1, x = 3, и осью абсцисс, равна …

Решение:

Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле Тогда получаем: .

Ответ: S = 80 кв. ед.

èЗадание Площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми x = 1, x = 2, и осью абсцисс, равна …

Ответ: S = 14 кв. ед.

4. Дифференциальные уравнения

Тема 4.1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

& Определение 1. Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее переменную х, искомую функцию у = у(х) и её производные.

& Определение 2. Решением дифференциального уравнения называют всякую функцию, обращающую данное уравнение в тождество.

Существуют два вида решений дифференциального уравнения: общее решение и частные решения. Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных С₁, С₂, … Частные решения получаются из общего при конкретном значении этих постоянных.

?Пример 1. Частными решениями дифференциального уравнения являются …

а) б)

в) г)

Решение:

Можно проверить каждую из данных функций.

а) . После подстановки в уравнение получим . Значит, является решением уравнения.

б) . После подстановки в уравнение получим . Значит, является решением уравнения.

в) . После подстановки в уравнение получим . Значит, не является решением уравнения.

г) . После подстановки в уравнение получим . Значит, не является решением уравнения.

Ответ: а) и б).

èЗадание 1. Частным решением дифференциального уравнения является …

а) б)

в) г)

Ответ: в).

èЗадание 2. Частными решениями дифференциального уравнения являются …

а) б)

в) г)

Ответ: а) и б).

èЗадание 3. Функция является решением дифференциального уравнения . Чему равна константа С ?

а) 1 б) – 1

в) г) 2

Ответ: г).

?Пример 2. Дифференциальным уравнением в частных производных является …

а) б)

в) г)

Решение:

Так как частные производные – это производные от функции нескольких переменных, для функции f(x;y) они обозначаются и , то уравнение в частных производных: .

Ответ: г).