2. Дифференциальное исчисление
Тема 2.1. Правила дифференцирования
Пример
1.
Производная функции
равна …
а)
б)
в)
г)
Решение:
Для
нахождения производной необходимо
воспользоваться правилами
,
,
,
где c
– постоянная величина, а u
и
v
– некоторые функции, зависящие от x,
и формулами
и
.
Тогда
получим:
Ответ: в).
Пример
2.
Производная функции
равна …
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение:
Для
нахождения производной необходимо
воспользоваться правилами
,
,
,
где c
– постоянная величина, а u
и
v
– некоторые функции, зависящие от x,
и формулами
и
.
Тогда
получим:
Ответ: а).
Задание
1.
Найдите производную функции:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
Ответ: г).
Задание 2. Найдите производную функции:
Тема 2.2. Производная сложной функции
?Пример
1.
Найдите производную сложной функции:
.
Решение:
Данная
функция является сложной. Пусть
,
тогда
.
Напоминаем, что производная сложной
функции находится по формуле
.
Тогда получим
.
Ответ:
.
Задание Найдите производную сложной функции:
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
; 8)
; 9)
.
Тема 2.3. Производная функции в точке
?Пример
1.
Если
,
то
принимает значение, равное …
Решение:
Производная
суммы двух функций равна сумме производных
этих функций, значит,
.
Пусть х
=
0. Тогда
.
Ответ: 1.
?Пример
2.
Если
,
то
принимает значение, равное …
Решение:
Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем:
.
Пусть
х
=
0. Получим
.
Ответ: 6.
Задание
1.
Если
,
то
принимает значение, равное …
Ответ: 4.
Задание
2.
Если
,
то
Ответ: – 4.
Задание
3. Если
,
то
принимает значение, равное…
Ответ: 1.
Задание
4.
Если
,
то
принимает значение, равное…
Ответ: 3.
Тема 2.4. Экстремум функции
Пример
1.
Для функции 
точка минимума x0
равна …
Решение:
Для
отыскания точек экстремума найдем
точки, в которых производная равна нулю
или не существует. 
.
Заметим,
что производная существует для любого
значения х,
приравняем ее к нулю, получим: 
.
Последнее уравнение имеет корни: x
= 2, x
= 5. Отметим найденные значения на числовой
прямой. Найдем знак производной 
на каждом из получившихся промежутков.
Точки x
= 2 и x
= 5 являются экстремальными, так как при
переходе через эти точки производная
меняет знак.
x0
= 5 – точка минимума, так как производная
меняет знак с «−» на «+».
Ответ: 5.
Задание
1.
Для
функции 
точка максимума x0
равна
…
Ответ: 3.
Задание
2.
Найдите
точку минимума функции:
.
Ответ: 5.
Задание
3.
Найдите
точку максимума функции:
.
Ответ: 3.
Задание
4.
Найдите
точку минимума функции:
.
Ответ: 1.
Задание
5.
Найдите
точку максимума функции:
.
Ответ: – 6.
Тема 2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
?Пример
1.
Наибольшее значение функции
на отрезке
равно ….
Решение:
Заметим,
что функция
непрерывна на отрезке
.
Найдем значения функции на концах
отрезка:
Найдём
производную данной функции:
Тогда
Так
как
то
нужно найти только
.
.
Сравнивая значения
,
и
определим, что наибольшее значение
функции равно 26.
Ответ: 26.
?Пример
2.
Наименьшее значение функции
на отрезке
равно ….
Решение:
Заметим, что функция непрерывна на отрезке . Найдем значения функции на концах отрезка:
Найдём
производную данной функции:
.
Тогда
Так
как
то
нужно найти только
.
.
Сравнивая значения
,
и
определим, что наименьшее значение
функции равно 0.
Ответ: 0
Задание
1.
Найти
наименьшее значение функции
на отрезке
.
Задание
2.
Найти
наибольшее значение функции
на отрезке
.
Задание
3.
Найдите
наименьшее значение функции
на отрезке
