Показательная форма комплексного числа

Пример 1. Показательная форма комплексного числа имеет вид:

а)

б)

в)

г)

Решение:

Для того чтобы представить комплексное число в показательной форме , необходимо найти его модуль r и аргумент . Используя формулу , где x – действительная, а y – мнимая часть комплексного числа, можно найти модуль числа. В нашем случае x = 0, у = 2. Отсюда получаем: .

По формулам и можно найти аргумент комплексного числа. Так как , , то .

Подставляя найденные значения r и в формулу, получим .

Ответ: в).

БЛОК 3. Кейс-задания

Пример 1

Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону

Задание 1.1 (выберите один вариант ответа). Ускорение гоночного автомобиля в момент времени равно …

Варианты ответов:

1) 46

2) 28

3) 12

4) 45

Ответ: 1).

Задание 1.2 (установите соответствие между элементами двух множеств). Скорость гоночного автомобиля на трассе контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения гоночного автомобиля.

Варианты ответов:

1. а) 2

2. б) 28

3. в) 102

4. г) 490

д) 253

Ответ: 1) – а); 2) – б); 3) – в); 4) – г).

Задание 1.3 (введите ответ в поле )

Время гоночного автомобиля, при котором ускорение , равно …

Ответ: 2.

Задание 1.4. (введите ответ в поле )

Путь, пройденный гоночным автомобилем за 5 секунд от начала движения, равен …

Ответ: 600.

Пример 2

Задание 2.1. Материальная точка движется по прямой. Уравнение скорости ее движения (м/с).

Ускорение материальной точки в момент времени t = 4 равно

1. 5

2. 9

3. 12

4. 17

Решение:

Ускорение материальной точки вычисляется по формуле: . Отсюда получаем (м/с²). Подставив t = 4, получим:

(м/с²)

Ответ: в).

Задание 2.2. Материальная точка движется по прямой. Уравнение скорости ее движения (м/с). Путь, пройденный материальной точкой за 6 секунд от начала движения, равен…

Ввести ответ.

Решение:

Путь, пройденный материальной точкой, вычисляется по формуле:

Ответ: 30 м.

Пример 3

Задание 3.1. Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения (м/с). Ускорение материальной точки в момент времени t = 5 равно …

1. 87

2. 22

3. 42

4. 30

Решение:

Ускорение материальной точки вычисляется по формуле:

(м/с²)

(м/с²)

Ответ: г).

Задание 3.2. Материальная точка движется по прямой. Уравнение скорости ее движения (м/с). Путь, пройденный материальной точкой за 3 секунды от начала движения, равен…

Ввести ответ.

Решение:

Путь, пройденный материальной точкой, вычисляется по формуле:

(м)

Ответ: 63 м.

Задания для самостоятельного решения:

1. Точка движется прямолинейно по закону .

Найти скорость точки в момент времени t = 4.

2. Точка движется прямолинейно по закону

Найти скорость точки в момент времени t = 2_.

3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Найти ускорение точки в момент времени t = 3.

4. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Найти путь, пройденный точкой за 3 секунды от начала движения.

5. Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?

Ответы:

1. 104; 2) 32; 3) 7; 4) 34,5; 5) 4.

ТЕСТ для самопроверки

Блок 1

Задание 1. (выбрать один вариант ответа)

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 2. (выбрать один вариант ответа)

Производная функции равна …

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 3 (выбрать один вариант ответа)

Производная сложной функции равна …

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 4. (выбрать один вариант ответа)

Производная функции в точке равна …

Варианты ответов:

а) 36; б) 33; в) – 28 ; г) 28.

Задание 5. (выбрать один вариант ответа)

Неопределённый интеграл равен …

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 6. (выбрать один вариант ответа)

Определённый интеграл равен …

Варианты ответов:

а) 2; б) – 2; в) 3; г) .

Задание 7. (выбрать один вариант ответа)

Общим решением дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 8. (выбрать один вариант ответа)

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка является …

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 9. (выбрать один вариант ответа)

Частичная сумма S₃ ряда равна …

Варианты ответов:

а) 3; б) 9; в) – 9; г) 6.

Задание 10. (выбрать один вариант ответа)

Пусть ; . Тогда прямое произведение равно …

Варианты ответов:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание 11. (выбрать один вариант ответа)

Пусть ; . Тогда равно …

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 12. (выбрать один вариант ответа)

В корзине 15 красных и 5 белых шаров. Наугад вынутый шар окажется красным с вероятностью равной …

Варианты ответов:

а) 0,75; б) 0,05; в) ; г) 1.

Задание 13. (выбрать один вариант ответа)

Сколькими способами можно составить список из пяти человек?

Варианты ответов:

а) 5; б) 25; в) 100; г) 120.

Задание 14. (выбрать один вариант ответа)

При вычислении значения выражения данные в условии задачи значения х = 10,2 и у = 3,8 округлили до целых и получили . Тогда абсолютная погрешность полученного результата равна …

Варианты ответов:

а) – 1,2; б) – 0, 2; в) 0,2; г) 1,2.

Задание 15. (выбрать один вариант ответа)

Сопряжённое комплексное число для имеет вид …

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 16. (выбрать один вариант ответа)

Предел функции равен …

Варианты ответов:

а) 2; б) – 2; в) ; г) .

Блок 2

Задание 17. (вычислите ответ)

Если , то принимает значение, равное …

Задание 18. (вычислите ответ)

Определённый интеграл равен …

Задание 19. (выберите не менее двух вариантов ответа)

Частными решениями дифференциального уравнения являются …

Варианты ответов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 20

Даны комплексные числа и . Установите соответствие между действиями над комплексными числами и результатами этих действий.

Варианты ответов:

1. а)

2. б)

3. в) 2

Блок 3

Пример 21

Скорость автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону (м/с).

Задание 21.1. (выбрать один вариант ответа)

Ускорение автомобиля в момент времени t = 3 сек равно …

Варианты ответов:

а) 66; б) 22; в) 30; г) 20.

Задание 21.2. (установите соответствие между элементами двух множеств)

Установите соответствие между временем и скоростью автомобиля.

Варианты ответов:

1. t = 1 а) 20;

2. t = 2 б) 64;

3. t = 3 в) 7;

4. t = 4 г) 39;

д) 70.

Задание 21.3. (вычислите ответ)

Время, при котором ускорение автомобиля а = 46 м/с², равно …

Задание 21.4. (вычислите ответ)

Путь, пройденный автомобилем за 4 секунды от начала движения равен …

Ответы: 1. а); 2. б); 3. в); 4. г); 5. в); 6. а); 7. г); 8. г); 9. б); 10. б); 11. а); 12. а); 13. г); 14. г); 15. а); 16. в); 17. 20; 18. 63; 19. б); 20. 1) – в); 2) – а); 3) – б); 21.1. б); 21.2. 1) – б); 2) – а); 3) – г); 4) – б); 21.3. 7; 21.4. 96.