Модуль 7. Основы дискретной математики

?Пример 1. Даны множества и . Тогда верными будут утверждения …

а)

б) 

в)

г)

Решение:

Множества А и В заданы с помощью характеристического свойства. Зададим эти же множества перечислением элементов. Получим и _. Очевидно, что утверждение « » − истинное, а « » − ложное. Для множеств A и B элементы 5, 6, 7, и 8 являются общими, значит, утверждение « » − истинное. По этой же причине утверждение « » − ложное.

Ответ: верными являются утверждения а) и в).

èЗадание 1. Даны множества и . Тогда верными будут утверждения …

а) 

б)

в)

г)

Ответ: б) и г).

Пример 2. Пусть , . Некоторое отношение ρ есть подмножество прямого произведения , то есть ρ . Тогда ρ может быть равно …

а)

б)

в)

г)

Решение:

Прямое произведение содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x принимает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда = . Подмножество прямого произведения не может содержать пару, у которой на первом месте стоит элемент a или b, поэтому множества и не могут быть подмножествами _. А оставшиеся два множества являются подмножествами _.

Ответ: б) и г).

èЗадание 2. Пусть , . Некоторое отношение ρ есть подмножество прямого произведения , то есть ρ . Тогда ρ может быть равно …

а)

б)

в)

г)

Ответ: а) и б).

Модуль 8. Основы теории вероятностей и математической статистики Теоремы сложения и умножения вероятностей

Пример 1. Одновременно бросают две игральные кости. Вероятность того, что на обеих игральных костях выпадет по 6 очков, равна …

а) б)

в) г)

Решение:

Вероятность того, что на первой игральной кости выпадет 6 очков, равна . Также и со второй костью: вероятность того, что на ней выпадет 6 очков, равна . Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий (на обеих костях выпадет по 6 очков) равна произведению вероятностей этих событий: .

Ответ: б).

Задание 1. Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , а второй – с вероятностью . Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба попадут в мишень, равна …

а) б)

в) г)

Ответ: а).

Задание 2. В первой шкатулке находится 20 монет одинакового достоинства. Известно, что две из них являются фальшивыми. Во второй шкатулке 8 монет, из которых 1 монета фальшивая. Из каждой шкатулки наугад берут по одной монете. Вероятность того, что обе монеты окажутся фальшивыми, равна …

а) б)

в) г)

Ответ: г).

Пример 2. Имеются два пакета семян, имеющих всхожесть и соответственно. Вероятность того, что после посадки всех семян из обоих пакетов не взойдет ни одно семя, равна …

а) б)

в) г) 0

Решение:

Пусть событие А означает, что не взойдет ни одно семя из первого пакета, тогда . Событие В означает, что не взойдет ни одно семя из второго пакета, тогда . События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Ответ: а).