Модуль 2. Основы дифференциального исчисления Производная сложной функции

Пример 1. Производная функции равна

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение:

– сложная функция. Введем вспомогательную переменную

Ответ: б).

Пример 2. Производная функции равна…

1. 1.

2. 

3. 

4. 

Решение:

- сложная функция. Введем вспомогательную переменную .

Тогда

Ответ: б).

Пример 3. Производная функции равна…

1. 

2. 

3. 

4. 

Ответ: в).

Задание 1. Производная функция равна…

1. 

2. 

3. 

4. 

Ответ: г).

èЗадание 2. Производная функции равна…

1. 

2. 

3. 

4. 

Ответ: а).

èЗадание 3. Найти производные функций:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Модуль 3. Определенный интеграл

Пример 1. Найти . Ввести ответ.

Решение:

Ответ: 6.

Пример 2. Найти . Ввести ответ.

Решение:

Ответ: 5.

Пример 3. Найти

Решение:

Ответ: 9.

èЗадание Найти определенные интегралы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответы:

1. 4;

2. 7;

3. 6;

4. 1;

5. 2.

Модуль 4. Применение производной функции

?Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону , где S – расстояние в метрах, t – время в секундах. Найти значения скорости и ускорения в момент времени t = 4 с.

Решение:

1. Скорость точки в произвольный момент времени: (м/с)

Вычислим скорость точки при t = 4.

(м/с).

2. Найдём ускорение движения точки в момент времени t

(м/с²)

3. Вычислим ускорение движения точки в момент времени t = 4 с

(м/с²)

Ответ: (м/с); (м/с²).

èЗадание 1. Точка движется прямолинейно по закону , где S – расстояние в метрах, t – время в секундах. Найти значения скорости и ускорения в момент времени t = 2 с.

Ответ: (м/с); (м/с²).

?Пример 2. Точка движется прямолинейно по закону , где S – расстояние в метрах, t – время в секундах. Установите соответствие между законами движения и скоростью точки в момент времени t = 3 с.

Варианты ответов

1. а) 7 м/с

2. б) 83 м/с

3. в) 17 м/с

4. г) 84 м/с

Ответ: 1) – в); 2) – а); 3) – г); 4) – б).

Модуль 5. Применение определённого интеграла

 Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой за промежуток времени от t = t₁ до t = t₂ вычисляется по формуле:

?Пример 1. Скорость движения точки изменяется по закону: м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 10 секунд от начала отсчёта времени.

Решение:

Ответ: 1110 м.

èЗадание 1.

Скорость движения точки изменяется по закону: м/с.

Найдите путь, пройденный точкой за 5 секунд от начала отсчёта времени.

Ответ: 270 м.

èЗадание 2.

Скорость движения точки изменяется по закону: м/с.

Найдите путь, пройденный точкой за четвёртую секунду.

Ответ: 83 м.

Модуль 6. Ряды Необходимый признак сходимости ряда

& Теорема. Если ряд сходится, то .

& Следствие. Если, то ряд расходится.

? Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Вывод: ряд расходится.

? Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение:

Вывод: ряд расходится.

èЗадание 1. Для исследования числового ряда на сходимость используется необходимый признак сходимости числового ряда: . Тогда укажите ряды, которые могут сходиться.

1. 

2. 

3. 

5. 

6. 

7. 

Ответ: Ни один из этих рядов не может сходиться, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

èЗадание 2. Для исследования числового ряда на сходимость используется необходимый признак сходимости числового ряда: . Тогда какие ряды могут сходиться?

1. 

1. 

Ответ: оба ряда могут сходиться.

èЗадание 3. Выбрать не менее двух рядов, которые могут сходиться.

1. 

1. 

2. 

3. 

Ответ: 1), 2).

èЗадание 4. Выбрать не менее двух рядов, которые могут сходиться.

1. 

1. 

2. 

3. 

Ответ: 1), 4).

? Пример 3. Известно, что ряд Маклорена для функции у = е^х имеет вид:

Тогда …

Варианты ответов:

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1).

èЗадание 5. Известно, что ряд Маклорена для функции имеет вид:

Тогда …