Тема 9.5. Показательная форма комплексного числа

 Запись комплексного числа в виде , где r – модуль, а  – аргумент комплексного числа, называется показательной формой комплексного числа.

Пример 1. Запишите комплексное число в показательной форме.

а)

б)

в)

г)

Решение:

Для того чтобы представить комплексное число в показательной форме записи , необходимо найти его модуль r и аргумент . Зная, что тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид получим . Отсюда показательная форма данного числа:

Ответ: в)

Тема 9.6. Решение уравнений

Пример 1. Корни квадратного уравнения равны …

а) ,

б)

в) ,

г) ,

Решение:

Учитывая равенство , мы можем найти корни данного уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:

Ответ: а).

Задание Решите уравнение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10. Теория пределов

Тема 10.1. Предел функции в точке

Пример 1. Предел равен …

Решение:

Напоминаем, что для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной x поставить значение, – 3, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия:

.

Ответ: 20.

Задание Предел равен …

Ответ: – 7.

Тема 10.2. Первый замечательный предел

Пример 1. Предел равен …

Решение:

Напоминаем, что для вычисления предела функции нужно воспользоваться первым замечательным пределом и соотношением . Для этого необходимо выполнить замену переменной , откуда . Учитывая, что при , получаем:

Ответ: 2

Задание 1. Предел равен …

Ответ: 8.

Задание 2. Найдите пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответы: 1) 6; 2) ; 3) 2; 4) ; 5) .

Тема.10.3. Второй замечательный предел

Пример 1. Предел равен …

а)

б)

в)

г) ₀

Решение:

Функцию нужно преобразовать так, чтобы использовать второй замечательный предел, то есть формулу . Для этого числитель и знаменатель дроби необходимо разделить на число – 1, получим: Выполним замену переменной, полагая . Если , то и , и, следовательно,

.

Ответ: .

Задание 1. Предел равен …

а)

б)

в)

г) ₁

Ответ: а).

Задание 2. Предел равен …

а)

б)

в)

г) ₁

Ответ: а).

Задание 3. Найдите пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответы: 1) ; 2) или ; 3) или ; 4) или ; 5) или .

Тема 10.4. Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"

Пример 1. Предел равен …

а) б)

в) г) ₀

Решение:

Обращаем внимание, что так как и то в данном случае имеет место неопределенность вида . Но поскольку степень числителя – больше степени знаменателя , то вся дробь стремится к бесконечности.

.

Ответ: в).

Пример 2. Предел равен …

Решение:

Обращаем внимание, что так как и то в данном случае имеет место неопределенность вида . Но поскольку степень числителя – меньше степени знаменателя , то вся дробь стремится к нулю.

Ответ: 0.

Задание 1. Предел равен …

а) б) 1

в) г)

Ответ: в).

Пример 3. Предел равен …

Решение:

Обращаем внимание, что так как и , то в данном случае имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной, то есть на :

.

Тогда, зная, что , получим: .

Ответ: 2.

Замечание. В случае, когда максимальные степени числителя и знаменателя совпадают, предел равен отношению коэффициентов при этих степенях.

Задание 2. Предел равен …

Ответ: 1.