9. Основы теории комплексных чисел
Тема 9.1. Модуль и аргумент комплексного числа
Комплексными
числами
называют выражения вида
,
где х
и y
– действительные числа, а
–
мнимая единица. Всякое комплексное
число
может быть изображено на плоскости
точкой с координатами (х;у)
и соответствующим вектором (см.
рис. 5).
М
одулем
комплексного
числа называется длина вектора,
соответствующего этому числу.
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:
r
=
.
Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу. Обозначение: arg z = .
Пример
1. Найдите
модуль комплексного числа
.
Решение:
Модуль
комплексного числа вычисляется по
формуле
,
где x
–
действительная, а y
– мнимая часть комплексного числа.
Тогда
.
Ответ:
.
Задание 1. Изобразите комплексные числа на плоскости:
Задание 2. Найдите модуль комплексного числа:
Ответы:
1) 10; 2) 5; 3) 2; 4) 1; 5) 1; 6)
;
7)
.
Задание
3.
Модуль
числа
равен …
1) 12 3) 5
2) 13 4) 4
Ответ: 2) 13.
Тема 9.2. Сопряженные комплексные числа
Комплексно
сопряжёнными числами
называют числа
и
.
Например,
и
.
Пример 1. Даны четыре комплексных числа:
1)
2)
3)
4)
Установите соответствие между комплексными числами и им сопряженными.
Ответ: 1) – b); 2 – a); 3) – e); 4) – c).
Задание Запишите комплексно сопряженное число:
Ответы:
1).
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Тема 9.3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Пример
1.
Произведение комплексных чисел
и
равно …
Решение:
Ответ: 85.
Задание
1.
Установите соответствие между действиями
над комплексными числами
;
и результатами действий:
a)
b)
c)
d)
Ответ: 1) – с); 2) – а); 3) – b); 4) – d).
Задание 2. Выполните действия над комплексными числами в алгебраической форме:
=
=
=
=
;
=
=
Ответы:
1) 1; 2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) 20; 10) 25.
Тема 9.4. Тригонометрическая форма комплексного числа
Запись
комплексного числа в виде
,
где r
– модуль,
а
– аргумент
комплексного числа, называется
тригонометрической формой комплексного
числа.
Задание
1.
Модуль числа
равен …
Ответ: 3.
Задание 2. Тригонометрическая форма комплексного числа, имеющего модуль r = 4 и аргумент = 210° имеет вид:
а)
б)
в)
г)
Ответ: б).
Задание
3.
Тригонометрическая форма числа
имеет вид:
а)
б)
в)
г)
Ответ: в).
Задание 4. Запишите комплексное число в тригонометрической форме
а)
б)
в)
г)
Ответ: б).