15.Дифференциальные уравнения энергии и теплопроводности и условия однозначности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности выведено со следующими допущениями:

- тело однородно и изотропно;

- физические параметры постоянны;

- деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;

- внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае могут быть заданы как , распределены равномерно.

, или .

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в которой происходит процесс теплопроводности.

Если принять теплофизические характеристики постоянными, что предполагалось при выводе уравнения, то дифур принимает вид: .

Примем - коэффициент температуропроводности.

и , где - оператор Лапласса в декартовой системе координат.

Тогда .

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:   где t_c – температура на поверхности тела; x, y,z - координаты поверхности тела. В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (1.44) упрощается и принимает вид: Граничные условия второго рода. Задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом:   где q_Π- плотность теплового потока на поверхности тела; x,y,z - как и в случае (1.44) — координаты на поверхности тела. В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:  Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.  Граничные условия третьего рода. При этом задаются температура окружающей среды t_ж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона—Рихмана.Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой относится к очень сложным процессам и зависит от большого количества параметров.

16.Изоляции и его критический диаметр

Рассмотрим случай когда труба покрыта однослойной тепловой изоляцией с наружным диаметром d₃. считая заданными и постоянными коэффициенты теплоотдачи ₁ и ₂, температуры обеих жидкостей t_ж1 и t_ж2, теплопроводности трубы ₁ и изоляции ₂.

Согласно уравнению , выражение для линейного термического сопротивления теплопередаче через двухслойную цилиндрическую стенку имеет вид: .

При возрастании диаметра изоляции член будет возрастать, а член – уменьшаться. Иными словами, увеличения наружного диаметра изоляции влечет за собой увеличение термического сопротивления теплопроводности изоляции и уменьшение термического сопротивления теплоотдаче на ее наружной поверхности. Последнее обусловлено увеличением площади наружной поверхности.

Экстремум функции R_l – – критический диаметр обозначается как d_кр. Служит показателем пригодности материала к использованию его в качестве тепловой изоляции для трубы с заданным наружным диаметром d₂ при заданном коэффициенте теплоотдачи ₂.