11. Нестационарная теплопроводность плоской пластины, регулярные и нерегулярные тепловые режимы.

Нестационарная теплопроводность – процесс при котором температура в заданной точке твердого тела изменяется во времени совокупность указанных температур образует нестационарное температурное поле, нахождение которого и является основной задачей нестационарной теплопроводности. Процессы нестационарной теплопроводности имеют большое значение для отопления, вентиляции, кондиционирования воздуха, теплоснабжения и теплогенерирующих установок. Ограждения зданий испытывают изменяющиеся во времени тепловые воздействия как со стороны наружного воздуха, так и со стороны помещения таким образом в массиве ограждающей конструкции осуществляется процесс нестационарной теплопроводности. Задачу об отыскании трехмерного температурного поля можно сформулировать в соответствии принципами, изложенными в разделе «математическая формулировка задач теплообмена». Формулировка задачи включает уравнение теплопроводности: , где – коэффициент температуропроводности м²/с, а также условия однозначности, позволяющие выделить единственное решение из множества решений уравнения, различающихся значением констант интегрирования.

Условия однозначности включают начальные и граничные условия. Начальные условия задают значения искомой функции t в начальный момент времени по всей области D. В качестве области D, в которой необходимо найти температурное поле, будем рассматривать прямоугольный параллелепипед с размерами 2, 2l_y, 2l_z, например, элемент строительной конструкции. Тогда начальные условия можно записать в виде: при  =0 и -х; - l_yуl_y; -l_zzl_z имеем t = t(x, y, z,0) = t₀(x, y, z). Из этой записи видно, что начало декартовой системы координат расположено в центре симметрии параллелепипеда.

Граничные условия сформулируем в форме граничных условий III рода, часто встречающихся на практике. Граничные условия III рода задают для любого момента времени на границах области D коэффициент теплоотдачи и температуру окружающей среды. В общем случае на различных участках поверхности S области D эти величины могут быть различными. Для случая одинакового коэффициента теплоотдачи  на всей поверхности S и всюду одинаковой температуры окружающей среды t_ж граничные условия III рода при  >0 можно записать в виде: ; ;

где . S – поверхность, ограничивающая область D.

Температура в каждом из трех уравнений берется на соответствующей грани параллелепипеда.

Рассмотрим аналитическое решение сформулированной выше задачи в одномерном варианте, т.е. при условии l_y,l_z ». В этом случае требуется найти температурное поле вида t = t(x, ). Запишем формулировку задачи:

уравнение ;

начальное условие: при  = 0 имеем t(x, 0) = t₀ = const;

граничное условие: при x = ,  > 0 имеем .

В соответствии с этими выражениями имеется бесконечная пластина толщиной 2, изготовленная из материала с коэффициентом температуропроводности а и обладающая в начальный момент времени температурой t₀. пластина резко переносится в среду с температурой t_ж и коэффициентом теплоотдачи . С этого момента температура в пластине изменяется так, чтобы удовлетворялось уравнение . Задача состоит в том, чтобы получить конкретную формулу t = t(x, ), позволяющую найти температуру t в любой точке пластины в произвольный момент времени.

Сформулируем задачу в безразмерных переменных, это позволит сократить записи и сделает решение более универсальным. Безразмерная температура равна , безразмерная координата равна Х = х/. Подставив эти величины в уравнение получим , где - число Фурье (безразмерное время).

Начальное условие запишется в следующем виде: Fo = 0;  = 1.

Граничное условие запишется как: Fo > 0; Х =1; , где – число Био.

Формулировка задачи в безразмерном виде содержит единственный параметр – число Био, которое в данном случае является критерием, так как составлено только из величин, входящих в условие однозначности. Использование числа Био связано с нахождением температурного поля в твердом теле, поэтому в знаменателе Bi – теплопроводность твердого тела. Bi – наперёд заданный параметр и является критерием.

Если рассматривать 2 процесса нестационарной теплопроводности с одинаковыми числами Био, то, согласно третьей теореме подобия, эти процессы подобны. Это значит, что в сходственных точках (т.е. при Х₁=Х₂; F_o1=F_o2) безразмерные температуры будут численно равны: ₁=₂. следовательно, произведя один расчет в безразмерном виде, мы получим результат, справедливый для класса подобных явлений, которые могут различаться размерными параметрами    t₀ и t_ж.