Теплопроводность цилиндрического стержня при наличии внутренних источников теплоты
Рассмотрим
бесконечно длинный стержень (цилиндр)
с радиусом, коэффициент
теплопроводности которого
постоянен. Внутри этого стержня имеются
равномерно распределенные источники
теплоты.
Выделившаяся
теплота через внешнюю поверхность
стержня передается в окружающую среду.
Уравнение теплового баланса для любого
цилиндрического элемента внутри стержня,
радиуса r и длиной l имеет вид:
Отсюда следует, что при наличии внутренних источников теплоты в стержне плотность теплового потока изменяется пропорционально радиусу:
Согласно закону Фурье
Произведя разделение переменных, имеем:
Интегрируя уравнение (и), получаем:
Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий.
Уравнение принимает следующий вид:
Вычитая из уравнения (1-30) уравнение (1-31), получаем перепад температуры по радиусу стержня:
Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры , то, подставляя это значение в уравнение (и), будем иметь:
Интегрируя это уравнение, получаем:
Теплопроводность однородной цилиндрической стенки при наличии внутренних источников тепла
Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом и внешним, коэффициент теплопроводности которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты. Выделившаяся в стенке теплота может отводиться в окружающую среду либо только через внешнюю, либо только через внутреннюю, либо одновременно через обе поверхности трубы.
а) Теплота отводится через внешнюю поверхность трубы. Выделим в толще стенки кольцевой слой с радиусами и, ограниченный изотермическими поверхностями (рис. 1-17). Согласно закону Фурье через поверхность радиуса переносится тепловой поток, отнесенный к единице длины:
В рассматриваемом случае. Подставляя это значение в уравнение (н) и производя преобразование, получаем:
Рис. 1-17. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты с отводом теплоты через наружную поверхность.
Рис. 1-18. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты с отводом теплоты через внутреннюю поверхность.
Значение постоянной интегрирования С определяется из граничных условий. Подставляя это значение в уравнение и решая последнее относительно, получаем следующее уравнение температурной кривой:
Интегрируя уравнение, имеем:
Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий.
Подставляя значение С в уравнение (п), получаем уравнение температурной кривой
Полагая в этом уравнении, получаем перепад температуры в стенке:
или
Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, то уравнение температурной кривой принимает следующий вид:
б) Теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы. Схема процесса показана на рис. 1-18. Вывод расчетных формул здесь совершенно такой же, как и в предыдущем случае. Поэтому итоговые уравнения для поля температур и температурного перепада здесь ничем не будут отличаться от уравнений, за исключением того, что в них везде индексы 1 и 2 меняются на противоположные (т. е. на 2 и 1). Эти уравнения в форме, удобной для практических расчетов, имеют вид:
уравнение температурной кривой
перепад температур в стенке:
Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, то уравнение температурной кривой принимает следующий вид:
в) Теплота отводится через обе поверхности трубы. В первом случае (а) наивысшую температуру имеет внутренняя поверхность трубы, во втором (б) — внешняя, а в третьем (в) такая поверхность находится где-то внутри стенки; для нее. Положим, что радиус этой поверхности равен, а температура (рис. 1-19). Тогда, используя уравнения (1-35) и (1-38), будем иметь:
и
Вычитая левые и правые части этих уравнений, получаем:
Решая уравнение (т) относительно, имеем:
Рис. 1-19. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты с отводом теплоты через обе поверхности одновременно.
Подставляя найденное значение в уравнения (р) и (с), определяем значение. Если, то уравнение (1-40) упрощается и принимает следующий вид:
(1-40а)
Последнее означает, что в этом случае от тепловых условий не зависит и определяется лишь размерами трубы.