7. Вывод передаточной функции сильфона (датчика уровня).

Рис.5. Схема сильфона

Конструктивно сильфон представляет собой гофрированную коробку,

выполненную в виде цилиндра с равномерными складками (гофрами). Если

давление внутри сильфона будет уменьшаться, то под действием атмосферного

давления сильфон будет укорачиваться. Если же давление внутри сильфона

будет увеличиваться, то сильфон под действием этого давления будет

удлиняться. В случае измерения уровня жидкости гидростатическое давление

жидкости действует на сильфон аналогично предыдущему случаю.

Таким образом, сильфон представляет собой упругий элемент. Входной

величиной является измеряемое давление газа или жидкости в емкости Р, а

выходной величиной - перемещение свободного конца сильфона х.

Движение свободного конца сильфона может быть описано уравнением

(11)

где m – масса сильфона, кг;

x – перемещение свободного торца, м;

P – давление внутри сильфона, Н/м2;

S – эффективная площадь сильфона, м2;

c – коэффициент жесткости сильфона, Н/м.

Поскольку при перемещении свободного торца сильфона не вся его масса

у частвует в движении в равной мере, в уравнении (11) учтена только половина массы сильфона. Масса сильфона может быть приближенно вычислена по формуле

(12)

где d – внутренний диаметр сильфона, м;

ρ − плотность материала стенок сильфона, кг/м3;

l – толщина стенок сильфона, м;

D – наружный диаметр сильфона, м;

n – число гофр сильфона;

t – шаг гофрировки сильфона, м.

Г идростатическое давление Р внутри сильфона может быть найдено по формуле

(13)

где ρ₂ – плотность жидкости, кг/м3;

g = 9,81 – ускорение силы тяжести, м/с2;

h₁ – высота столба жидкости (контролируемый уровень), м.

С учетом формулы (13) уравнение (11) приобретает вид

(14)

Полученное уравнение описывает сильфон как консервативное звено.

Предполагая наличие демпфирования, обеспечивающего коэффициент

затухания ξ = 0,5, перепишем это уравнение в виде

г де

Вычисляя m по формуле (12) и считая , запишем

уравнение (14) с учетом демпфирования с численными значениями

коэффициентов. Численные значения величин l, D, d, n, t, S, c для выбранного сильфона приводятся в справочной литературе [3], там же указан материал стенок сильфона, определяющий величину ρ₁.

Передаточная функция сильфона (датчик уровня) имеет вид

III. Получение уравнения движения сар

Преобразуем исходную структурную схему

Рис.6. Структурная схема САР

На схеме символами W_ЭУ, W_ДОС и т. д. кратко обозначены символы

передаточных функций W_ЭУ(p), W_ДОС(p). В структурной схеме отсутствует

дополнительная обратная связь. Однако влияние этой связи не устранено, так

как в схему введена эквивалентная дополнительной обратной связи

п ередаточная функция

(15)

Дальнейшее преобразование позволяет перейти к еще более простой структуре системы

Рис.7. Цепочка с обратной связью

На схеме

С учётом выражений для передаточных функций элементов САР и выражения (15)

Передаточная функция разомкнутой системы принимает вид

₍₁₆₎

И, наконец, преобразование последней структурной схемы, которая является

ц епочкой с обратной связью, позволяет получить передаточную функцию W(p)уравнения системы

(17)

Уравнение системы получается из формулы (17) при подстановке в нее выражение для передаточной функции разомкнутой системы W_PC(p)

_{П осле преобразований, уравнение системы приобретает вид}

₍₁₈₎

_где

Для выполнения ручного расчета границ рабочей области, уравнение (18)

целесообразно упростить. Следует принять a₀ = a₁ = a₂ = a₃ = 0, а также принять

Т_МУ = Т_K = 0. После упрощения уравнение (18) примет вид

(19)

г де