Курс: “Основи програмування та алгоритмічні мови”

Лабораторна робота № 7 Обчислення значення визначеного інтегралу

Мета роботи:

- закріпити теоретичні знання та навички створення програм мовою Сі та C++;

- навчитися застосовувати навички створення програм до розв’язування завдань обчислення значення визначеного інтегралу.

Теоретичні відомості

Під визначеним інтегралом функції f (x) на відрізку [a, b] найчастіше розуміють площу криволінійної фігури під графіком функції f (x) (рис 1). Передбачається, що відрізок інтегрування від a до b розбитий на n інтервалів величиною h, де h=(b-a)/n, і обчислена площа їх стовпчиків S_i = f (x_i). h, тоді можна з заданою точністю визначити значення площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f (x) і рівною сумі площ елементарних інтервалів.

Рис. 1. Геометрична інтерпретація визначеного інтеграла

Для обчислення визначеного інтеграла безперервної функції f (x) на відрізку [a, b] застосована формула Ньютона-Лейбница

S = F (b) - F (a), (1)

де F (a), F (b) - первісні функції від підінтегральної функції F (x) = f `(x). Однак скористатися формулою (4.1) в більшості випадків не представляється можливим. Для багатьох функцій f (x), первообразную F (x) складно визначити. Крім того, функція f (x) може бути задана не аналітично, а таблично. У цьому випадку використовують наближені формули для обчислення інтеграла.

Чисельне інтегрування широко застосовується в практичних розрахунках через просту реалізацію на комп'ютері і різноманіття реальних функціональних залежностей, що не описується елементарними функціями, заданих таблично та ін..

Існує кілька методів чисельного інтегрування. Найбільш відомі з них методи прямокутників, метод трапеції і метод Сімпсона. Сформулюємо загальну постановку завдання.

Постановка завдання

Нехай потрібно обчислити

(2)

на відрізку [a, b], якщо відомо, що a і b - нижня і верхня межі інтегрування, а функція f (x) неперервна на інтервалі [a, b].

1. Методи прямокутників

Згідно загальному підходу чисельного інтегрування інтервал [a, b] поділяють на n ділянок завдовжки

(3)

На кожній дільниці [x_i, x_{i +1}] замінюють підінтегральну функцію горизонтальною прямою. Розрізняють різновиди методів прямокутників: лівих, правих і середніх, згідно яким на кожному елементарному інтервалі обчислюють значення або f (x_i), або f (x_{i +1}), або f (x_i + h / 2) і будують відповідну горизонтальну лінію, за якою визначають площу елементарного прямокутника.

Таким чином

S_i = f (x_i) h - для методу лівих прямокутників;

S_i = f (x_i +1) h - для методу правих прямокутників;

S_i = f (x_i + h / 2) h - для методу середніх прямокутників.

Застосовуючи дані формули до кожної ділянки і підсумовуючи площі всіх прямокутників, отримаємо узагальнену формулу для наближеного обчислення визначеного інтеграла методом лівих прямокутників:

(4)

або

або

для правих і середніх прямокутників відповідно

Рис. 2. Ілюстрація методів обчислення інтегральних сум

Заміна реальної функції f (x) рівнянням прямої на ділянках інтегрування вносить певну похибку у обчисленні інтеграла. Похибка буде зменшуватися при збільшенні кількості розбиттів інтервалу за рахунок більш точної апроксимації підінтегральної функції.

Рис. 3. Блок - схема програми обчислення визначеного інтеграла методом лівих прямокутників

На рис. 2 показані елементарні інтервали, збільшені для наочності. Заштриховані фігури відповідають площам, обчисленим методом правих прямокутників (значення площі розраховане по правій межі) - S₁, методом лівих прямокутників - S₂, і методом трапеції - S₃, що розглядається далі. Очевидно, що при

(5)

При обчисленні інтеграла методом прямокутників нерідко говорять про розрахунки з надлишком і нестачею, так для монотонна зростаючої функції результат обчислень за методом лівих прямокутників виходить з нестачею, а за методом правих - з надлишком.

Похибка обчислення визначеного інтеграла методом прямокутників пропорційна кроку інтегрування h.

Блок-схема програми обчислення певного інтеграла методом правих прямокутників наведена на рис. 3.

2. Метод трапецій

Більш точне обчислення певного інтеграла забезпечує метод трапецій. Підінтегральна функція f (x) розбивається на n рівних ділянок, які замінюються прямими, що з’єднують точки зі значеннями функції на кордонах кожної елементарної ділянки апроксимації f (x_k), f (x_{k +1}). Сума площ утворених таким чином трапецій (рис. 2) при тому ж значенні n точніше наближає значення інтеграла до істинного, в порівнянні з методами прямокутників.

Інтегральна сума методу трапеції може бути розрахована за однією з рівносильних формул:

(6)

Похибка методу трапецій пропорційна h².

Блок-схема програми аналогічна блок-схемі рис. 3. Оператор підсумовування за формулою прямокутника (4) замінюється відповідним оператором (6) - підсумовування за формулою трапеції.

3. Метод парабол Сімпсона

Точність обчислення певного інтеграла можна підвищити, замінивши лінійну апроксимацію досліджуваної функції апроксимацією кривими більш високого порядку, наприклад параболами. Метод аналогічний правилом трапецій, тільки для обчислення площі над кожним з відрізків через три послідовні ординати розбиття проводиться квадратична парабола. Зауважимо, що n - число інтервалів обов'язково парне.

Згідно з методом Сімпсона, якщо підінтегральну функцію замінити многочленом другого ступеня, що збігається з заданою функцією в точках a, (a + b) / 2, b, то вийде так звана проста формула Сімпсона:

(7)

Зі збільшенням довжини проміжку інтегрування точність розрахунків за формулою (7) швидко падає. Для підвищення точності застосовують складову формулу Сімпсона.

Відрізок [a, b] розбивають на парне n = 2 m число відрізків довжиною h = (b-a) / 2 m. Нехай x_i = a + i h, y_i = f (x_i), i = 0,1,2, ..., 2 m.

Застосуємо просту формулу Сімпсона до кожного з відрізків

[X₀, x₂], [x₂, x₄], ..., [x_2m-2, x_2m] довжиною 2 h.

Після підсумовування інтегралів по всім відрізкам отримуємо складову формулу Сімпсона

або (8)

Математична запис формули (8) має вигляд

де прийняті наступні позначення

x_i = a, x_i = x_i-1 +2 h, h = (b-a) / 2.

Відповідно алгоритму обчислення проводять за формулою (8), чередування коефіцієнтів здійснюють за допомогою зміни знаків відповідної змінної.