1.8. Понятие глобальных состояний и глобальных реакций системы
Понятия состояния вводится для того, чтобы:
обеспечить представление систем, являющихся в общем случае отношениями, с помощью функций;
обеспечить возможность определять будущий выход системы, зная лишь будущий ее вход и текущее состояние системы, не учитывая ее предысторию (состояние системы в любой момент времени содержит в себе всю информацию о предыстории системы);
обеспечить возможность соотносить состояния системы в различные моменты времени с тем, чтобы определять, изменяется ли состояние системы во времени и если да, то каким-образом.
Это последнее требование приводит к понятию пространства состояний. Общая динамическая система определяется в таком пространстве.
При определении
множества состояний системы необходимо
ввести понятие частичной функции.
Функцию
будем называть частичной если она
определена только на некотором
подмножестве
множества
.
Для удобства частичную функцию будем
обозначать следующим образом
.
Обозначим область определения функции
(или просто область) через
,
а область ее значений (или ее кообласть)
– через
.
Аналогичным образом будут обозначаться
область, и кообласть системы
:
и
.
Для упрощения обозначений в дальнейшем
всегда будет предполагаться, что
,
если только не оговорено противное.
Теперь можно привести
еще одно определение частичной функции:
функция
называется частичной если
.
Определение
множества состояний.
Пусть для данной системы
и произвольного множества
,
функция
такова, что
.
Тогда
называется множеством или объектом
глобальных состояний системы, а его
элементы - глобальными состояниями
системы. При этом функция
называется глобальной реакцией системы
.
К
аждой
системе соответствует некоторая
глобальная реакция, и эта функция
не является частичной, т.е.
.
Это утверждение отражает тот факт, что
выход системы однозначно определяется
ее входом и состоянием.
Вернемся к
рассмотренному выше примеру системы,
на вход которой подается переменный
ток, а на выходе получается постоянный
ток. Для описания множества состояний
этой системы требуется ввести четыре
ключа -
,
,
и
(рис. 1.12). Обозначим состояние «ключ
замкнут» через
,
а
- «ключ разомкнут». Выпишем множество
глобальных состояний системы, реализующих
ее функцию – выпрямление тока
.
Элементы этого
множества
и
.
В этом случае для глобальной реакции
системы
элементами отображения
будут
и
.
В случае непрерывности входов и выходов
системы из соотношения (1.5.) легко получить
глобальную реакцию системы в виде
функции
,
где
.
1.9. Декомпозиция и синтез систем
Одной из самых важных областей применения общей теории систем являются исследования сложных, крупномасштабных систем. Анализ и разработка моделей таких систем, как правило, связаны с выделением в исходной системе обособленных и взаимосвязанных подсистем, взаимосвязанных в том смысле, что они являются составными частями исходной системы. Такой метод исследования принято называть системным анализом, причем разбиение системы на взаимосвязанные подсистемы называют декомпозицией, а объединение подсистем в целостную систему – синтезом. Для того чтобы сформулировать общие принципы системного подхода к решению задач декомпозиции и синтеза систем, необходимо рассмотреть вопросы связанные с определением таких понятий, как подсистема, типы соединений подсистем, а также необходимых условий для реализации процедур декомпозиции и синтеза.