1.10.3. Задачи группировки и упорядочения
Нечеткие отношения, как и обычные, могут подразделяться на отношения эквивалентности, порядка, сходства и доминирования в зависимости от того каким из приведенных ниже свойств они удовлетворяют.
Рефлексивность
Симметричность
Антисимметричность
Транзитивность
Отношение называется:
отношением сходства, если оно рефлексивно и симметрично;
отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;
отношением нестрого порядка, если оно является рефлексивным и транзитивным.
Перечисленные отношения используются в нечетких системах для решения таких, практически важных задач, как группировка (кластеризация, таксономия) и упорядочивание. Рассмотрим некоторые из этих задач.
Задача группировки
Пусть на некотором
конечном множестве
задано отношение сходства, т.е. для любых
двух объектов задана степень их близости,
похожести. Необходимо разбить множество
на группы объектов, близких между собой.
Эта задача встречается при классификации
минералов, материалов по их свойствам,
систематике биологических организмов
(видов), определении психологической
совместимости коллективов.
Процедура группировки заключается в следующем. Отношение сходства преобразуют в отношение эквивалентности, путем транзитивного замыкания. Транзитивное замыкание – это операция с помощью которой для заданного отношения получают наименьшее транзитивное отношение
которое включает отношение .
Построив для отношения
сходства транзитивное замыкание,
осуществляют разбиение множества
на классы эквивалентности с использованием
заданного для каждого класса
порога близости
.
К одному классу
относят объекты
,
для которых
.
Задача упорядочения
Пусть на некотором
конечном множестве объектов
задано отношение порядка, т.е. для каждой
пары объектов задана степень предпочтения
одного по сравнению с другим. Необходимо
упорядочить объекты – указать сначала
«наилучший», затем следующий за ним и
т.д. Задачи упорядочения наиболее широко
используются в автоматизированных
системах поддержки принятия решений,
а также возникают, например, при выборе
наиболее предпочтительного проектного
варианта. По парное сравнение вариантов
и выбор из них более предпочтительного
осуществляется группой экспертов.
Естественно, что их оценки степени
предпочтительности вариантов образует
нечеткое отношение порядка. Пусть в
результате по парного сравнения
экспертами трех проектных вариантов
мнения экспертов распределились
следующим образом: три эксперта считают
что вариант
предпочтительнее
(
),
а один эксперт считает, что
.
Отобразим результаты опроса в таблице
-
0
3
4
1
0
2
5
8
0
Для того чтобы упорядочить варианты по степени предпочтения, опираясь на оценки экспертов, необходимо воспользоваться так называемой функцией полезности, вида
.
Вычислим функцию полезности для каждого варианта
Таким образом, получим, что наиболее предпочтительным является вариант , затем и . Следует отметить, что в случае большого количества вариантов необходимо воспользоваться более эффективными методами разработанными в рамках теории распознавания образов и искусственного интеллекта [3].