1.10.2. Нечеткие системы

Модели нечетких систем, как и в классическом случае, строятся с использованием понятия нечеткого отношения.

Нечеткое отношение на декартовом произведении множеств и задается функцией

каждое значение которой интерпретируется как степень принадлежности пары данному отношению.

Аналогично обычным системам, модель «черного ящика» нечеткой системы определяется как нечеткое отношение между множествами входов и выходов , а именно

Важную роль в теории нечетких систем играет композиция нечетких отношений. Пусть на множествах и задано отношение , а на множествах , - отношение , тогда композиция отношений определяет отношение на множествах , с функцией принадлежности, определяемой из соотношения

Если множества значений входов и выходов системы конечны, то для описания математической модели системы можно воспользоваться матрицами отношений, либо набором правил, которые по заданным входам определяют выход системы. Эти правила могут иметь вид «ЕСЛИ ... ТО ...» и называются продукциями. Например, «ЕСЛИ ТО ». Продукции записывают в более компактном виде, следующим образом . Здесь , в общем случае, некоторое составное высказывание, которое может принимать только два значения: «истина» или «ложь». Такая форма описания связей между входами и выходами системы особенно удобна, когда элементами множества входов и выходов системы являются лингвистические переменные.

В качестве примера рассмотрим простейшую систему прогнозирования погоды в некоторой местности. В основу построения системы положим предположение, основанное на том наблюдении, что погода чаще сохраняется, чем меняется: завтра погода скорей всего будет такая же, как сегодня. Входом такой системы является лингвистическая переменная «Погода сегодня», а выходом – «Погода завтра».

Пусть множество - «Погода сегодня» - это вход системы, а множество - «Погода завтра» - выход системы. Пусть, в простейшем случае, элементы этих множеств - «ясно» (Я), «пасмурно» (П) и «дождь» (Д). Тогда множество входов - , а выходов . Если рассматривать такую систему прогнозирования, как четкую, то математическую модель системы можно представить в виде матрицы:


	Я	П	Д
Я	1	0	0
П	0	1	0
Д	0	0	1

В этом случае данной матрице можно сопоставить в соответствие следующий набор продукций:

; ; .

Очевидно, что такая модель системы не соответствует действительности. В рамках такой модели погода вообще не должна изменяться. Наиболее адекватной моделью такой системы является «нечеткая система». Математическая модель нечеткой системы описывается нечетким отношением функция принадлежности которого принимает, например, следующие значения:



	Я	П	Д
Я	0.8	0.4	0.3
П	0.4	0.8	0.4
Д	0.3	0.4	0.8

Данную нечеткую систему можно описать с помощью продукций вида

Поскольку нет четкой границы между значениями «ясно», «пасмурно» и «дождь», то множество входов системы так же является нечетким. Обозначим это множество через и сопоставим ему некоторую эмпирическую функцию принадлежности , значения которой получены в результате усреднения мнения группы экспертов:

	Я	П	Д
	0.4	0.5	0.1

Как в этом случае получить прогноз погоды на завтра. Для этого будем рассматривать множество , как одноместное отношение . Тогда прогноз погоды на завтра можно получить как композицию отношений и , а именно: погода завтра - . Причем функция принадлежности для определяется из соотношения