Нечеткие отношения. Операции над ними.
Прежде чем ввести понятие нечеткого отношения, рассмотрим обычные отношения и их свойства.
Бинарным отношением
на множестве
называется некоторое подмножество
декартова произведения
.
В соответствии с
этим определением задать отношение
на множестве
означает указать все пары
,
которые связаны отношением
.
Для обозначения того, что элементы
связаны отношением, будем пользоваться
следующими двумя эквивалентными формами
записи:
или
.
Если множество , на котором задано отношение , конечно, то отношение задается в двух формах:
в матричной
2) в виде графа
Пусть
на множестве
заданы два
отношения А и В, множество А определяется
матрицей
,
,
,а
-матрицей
.
Тогда рассмотрим
отношение
,
которое является объединением двух
отношений:
.
Если
является
пересечением отношений
и
(
), то
.
Определение 9.15.
Отношение
включает
в себя отношение
,
если для соответствующих множеств
и
выполняется
условие
.
Определение 9.16.
Если между
и
существует
отношение
,то
обратным к нему называется такое
отношение
,что
существует
тогда и только тогда, когда
.
Если при этом
,
-
матрицы этих отношений, то элементы
этих матриц связаны соотношением
,
.
Определение 9.17.
Произведение (композиция) отношений
на
декартовом произведении
определяется
следующим образом:
тогда
и только тогда, когда
существует такой
,для
которого выполнены одновременно
отношения
и
.
При этом элементы матриц отношений
связаны следующим образом
.
Укажем основные свойства отношений:
1. Отношение
рефлексивно,
если
или
для
любого
Пример рефлексивного отношения на
множестве действительных чисел -
отношение
('больше-равно').
2. Отношение
на
антирефлексивно,
если из того, что
следует
. В матрице рефлексивного отношения все
диагональные элементы равны 1, а
антирефлексивного - 0.
3. Отношение
симметрично,
если из того, что
следует
.
Матрица симметричного отношения -
симметричная. Отношение называется
антисимметричным, если из того, что
и
,
следует
.
4. Для транзитивного
отношения выполняется следующее
условие:
Нечеткие отношения.
Введем понятия нечеткого отношения и рассмотрим его свойства.
Определение 9.18.
Нечетким отношением
на
множестве
называется нечеткое подмножество
декартова произведения
,
которое характеризуется такой функцией
принадлежности
,
что
.
Причем
принимаается
как субъективная мера выполнения
отношения
.
П
ример
9.3. Пусть заданы:
а) четкое отношение
,
где
;
б) нечеткое отношение
;
Самым «узким» методом теории (и практики) нечетких множеств является задание функций принадлежности. Как следует из рассмотренных примеров, выбор функции принадлежности во многом является произвольным. Это обусловлено тем, что методы теории нечетких множеств, применяются для формализации субъективных представлений об окружающем мире. При этом получаемые результаты должны иметь качественный характер и слабо зависеть от конкретного выбора вида функции принадлежности. В тех случаях, когда необходимо получить более объективную оценку понятия или явления, функцию принадлежности строят с учетом результатов опроса экспертов по данной предметной области.
Существует несколько подходов к определению этой функции, приведем некоторые из них:
эвристический подход, когда субъект сам определяет, как он понимает степень принадлежности (например, числа к множеству «несколько»); функции, задаваемые разными людьми для одного множества, могут различаться;
статистический
подход, при
котором вид функции принадлежности и
ее значения определяется усреднением
оценок
,
задаваемых разными экспертами.