§ 4. Основная теорема зубчатого зацепления. Понятия о линии и полюсе зацепления. Профилирование зубьев

3.15. Для обеспечения нормальной работы пары зубчатых колес с постоянным передаточным числом профили зубьев должны быть очерчены по кривым, подчиняющимся опре­деленным законам. Эти законы вытекают из основной теоремы зацепления, сущность которой заключается в следую­щем.

Пусть имеется пара зубчатых колес с центрами O₁ и О₂, вращающихся соответственно с угловыми скоростями ₁ и ₂. На рис. 3.18, а показаны положения, кото­рые последовательно занимает пара сопряженных (эвольвентных) зубьев в процессе их зацепления; прямую O₁О₂ на­зывают межосевой линией зубчатой передачи. Проведем в точках касания зубьев K₁, K₂, K₃, ... общие нормали к профилям¹. Все эти нормали NN должны пересекать межосевую линию O₁O₂ в постоянной точке Р. Эту точку называют полюсом зацепления; ее положение на межосевой ли­нии определяется отношением угловых скоростей колес, т. е. их передаточным числом:

О₂P/O₁P=₁/₂=u

Основную теорему зацепления можно сформулировать так: общая нормаль к профилям зубьев в точке их касания пересекает межосевую линию в точке Р, называемой полю­сом зацепления и делящей межосевое расстояние на отрезки, обратно пропорционально угловым скоростям. Следствие: для обеспечения постоянного передаточного числа положение полюса Р на линии центров должно быть постоянным.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим пару сопря­женных зубьев в зацеплении (рис. 3.18, б). Профили зубьев шестерни и колеса касаются в точке K₃. Проведем через эту точку общую для обоих профилей касательную TТ и нормаль NN. Окружные скорости точки К3 относительно центров вращения O₁ и О₂ будут

v₁=O₁K₃₁ или v₂=O₂K₃₂

_________________

¹На рис. 3.18, а геометрическое место точек контактов (K₁, K₂,…, K_n) – прямая NN. Это имеет место только при эвольвентой форме зубьев. В общем случае геометрическое место точек контактов прямой линией не является.

Рис. 3.18

Запишите в конспект формулировку основной теоремы зацепления и выучите ее. Перечертите в конспект рис. 3.18, а и проведите через точку Р линию I-I, пер­пендикулярную межосевой линии O₁O₂.

3.16. В процессе работы сопряженных (эвольвентных) про­филей точка их касания все время перемещается по прямой NN. Эту прямую называют линией зацепления.

Место (точку) входа в зацепление и выхода из него со­пряженных зубьев можно определить при следующем геометрическом построении.

Возьмем произвольное межцентровое расстояние О₁О₂ (рис. 3.18, г) и разделим его в произвольном отношении O₂P/O₁P = и. Радиусами О₂Р и O₁Р проведем начальные окружности зубчатых колес через точку Р, касательную ТТ к этим окружностям и линию NN – нормаль к боковым поверхностям зубьев - под углом а_w и касательной ТТ. Угол a_w называют углом зацепления; в СССР a_w принят 20°.

Примем произвольную высоту головки зубьев и проведем радиусами, равными l/2da₁ и l/2da₂, окружности выступов зуб­чатых колес (высота головки зуба шестерни и колеса должна быть одинаковой). При направлении вращения колес, указанном на рисунке, зубья войдут в зацепление в точке А (точке пересечения нормали с окружностью выступов колеса) и выйдут из зацепления в точке В (точке пересечения нормали с окружностью выступов шестерни).

рис.3.19

Все точки касания сопря­женных зубьев будут лежать на участке АВ линии зацеп­ления. Участок АВ называет­ся рабочим участком линии зацепления.

Соединим точки А и В с центром колеса 0₂. Образо­вавшийся угол γ есть угол, на который повернется коле­со за период зацепления пары зубьев.

Продолжим линию O₂B до ее пересечения в точке В' с начальной окружностью ко­леса, а точку пересечения прямой 0₂А с начальной окружностью колеса обозна­чим через А'. Дуга А'В', соответствующая углу γ и измеренная по делительной (начальной) окружности, назы­вается дугой зацепления.

Необходимое условие непрерывности зацепления: дуга зацепления должна быть больше шага. В противном случае при выходе "из зацепления одной пары зубьев вторая пара еще не войдет.

Длина линии зацепления q_a - отрезок линии зацепления, отсекаемый окружностями вершин зубьев сопряженных колес. Он определяет начало и конец зацепления пары сопряжен­ных зубьев. Длина зацепления - активная часть линии зацепле­ния.

Коэффициент торцового перекрытия q_a - отношение дли­ны линии зацепления (qj к основному шагу (q_a), т. е. е_a =q_a/p_b - Величина е_a показывает, сколько пар зубьев в сред­нем находится одновременно в зацеплении. Например, при е_a = 1,4 в течение 40% времени в зацеплении находятся две пары зубьев, а в течение 60 % - одна.

Рис. 3.19

Можно ли увидеть на зубчатом колесе (рис. 3.19) линию зацепления NN и угол зацепления a_w или это только теоретически представляемые геометрические элементы? Начертите в конспекте условное изображение внешнего за­цепления цилиндрических зубчатых колес. Проведите под углом а_w = 20° линию зацепления NN, на которую из точек 0₁ и О₂ опустите перпендикуляры О₁А и O₂D. Как называются окружности, проведенные из центров 0₁ и О₂ радиусами О₁А и O₂D ?.

На этом же чертеже проставьте буквенные обозначения геометрических параметров зацепления шестерни и колеса.

3.17. Полюс зацепления Р (см. рис. 3.18, б) сохраняет неиз­менное положение на линии центров 0102- Следовательно, радиусы О₁Р (r₁) и 0₂Р (r₂) также неизменны. Окружности радиусов rj и г 2 называют начальными (делительными - см. шаг 3.13). При вращении зубчатых колес эти окружности перекатываются одна по другой без скольжения, о чем свидетельствует равенство их окружных скоростей w₁r₁=w₂r₂ (см. доказательство основной теоремы зацепления). Теоретически боковые поверхности зубьев (профили) могут быть очерчены любыми кривыми, удовлетворяющими основному закону зуб­чатого зацепления. Такие профили называют сопряженными. В современном машиностроении для построения сопря­женных профилей применяют ограниченное число кривых.

Уточните основное условие для обеспечения постоянства передаточного числа зубчатой передачи.

3.18. Профили зубьев должны быть технологичными, т. е. такими, чтобы их можно было получить в производ­ственных условиях наиболее простыми методами. Из теорети­чески возможных профилей преимущественное применение по­лучили эвольвентные профили (см. рис. 3.18, б), так как такие профили проще обработать и они обладают боль­шими преимуществами. Эвольвентное зацепление предложено Эйлером более 200 лет назад. Это зацепление по сравнению с другими имеет следующие преимущества: при изменении межосевого расстояния не нарушается правильность их за­цепления (не изменяется передаточное число); это зацепление может быть использовано и в сменных колесах.

Зубчатые колеса раньше изготовляли с профилем зуба, очерченным циклоидальными кривыми. Зацепление в этом случае называют циклоидальным: головка зуба очерчивается эпициклоидной, ножка - гипоциклоидной.

По сравнению с эвольвентным зацеплением циклоидаль­ное имеет следующие недостатки: сложность изготовления профиля зуба; не допускает отклонения межосевого рассто­яния.

В зацеплении М. Л. Новикова торцовые профили зубьев очерчены дугами окружностей (рис. 3.20). По сравнению с эвольвентными передачи с зацеплением Новикова могут при одних и тех же габаритных размерах передавать

в 1,5 - 2 раза большую мощность. Ввиду сложности из­готовления и монтажа передачи с зацеплением Новикова пока нашли применение только в специальном машиностроении.

Какой профиль зуба получил наибольшее распространение в машиностроении?

3.19. Контрольная карточка 3.3.

Контрольная карточка 3.3

Вопрос	Ответы	Код
Что называется полюсом за­цепления?	Точка касания двух соседних зубьев Отношение числа π к шагу	1 2
	зацепления
	Точка касания делительных	3
	(или начальных) окружностей
	шестерни и колеса Точка касания линии зацепле-
	ния с основной окружностью
	шестерни или колеса
Покажите на рис. 3.21 актив­ную линию зацепления (ра­бочий участок)	Отрезок АД Отрезок ВС На чертеже не показан	5 6 7
Какой профиль имеют зубья передачи, показанной на рис. 3.22?	Эвольвентный Циклоидальный Зацепление Новикова Эти профили в машинострое-	8 9 10 11
	нии не используются