§ 6.7. Построение областей устойчивости. D-разбиения.

1. Метод D-разбиения.

Пусть дано характеристическое уравнение n-й степени:

.

При заданном значении коэффициентов уравнения в общем случае оно имеет m корней в правой полуплоскости и корней в левой полуплоскости. При изменении коэффициентов уравнения корни его перемещаются в плоскости корней, описывая корневые годографы. При определенном значении коэффициентов один из корней попадает в начало координат или пара корней попадает на мнимую ось и поэтому значения этих коэффициентов удовлетворяют уравнению:

…(2.26).

Уравнению (2.26) в - мерном пространстве коэффициентов, по осям которого отложены , соответствует точка при данном значении ω и гиперповерхность - при изменении ω от 0 до . Если перемещаться в пространстве коэффициентов, т.е. если менять коэффициенты уравнения, то при некотором их значении мы пересечем гиперповерхность и, значит, пара (или один корень) будет переходить из правой (левой) полуплоскости корней в левую (правую), т.е. пересекать границу устойчивости.

Пусть , тогда .

Каждому значению коэффициентов в трехмерном пространстве коэффициентов соответствует точка, как это показано на рис. 2.12 а. Этому значению коэффициентов уравнения соответствует определенное расположение корней в плоскости корней (рис. 2.12 б).

Точке М соответствуют корни , точке N- корни . При некоторых значениях коэффициентов один или пара корней окажутся на мнимой оси, т.е. корни будут равны 0 или и, следовательно, соответствующая точка в пространстве коэффициентов будет удовлетворять уравнению:

.

Рис. 2.12. Метод D-разбиения: а) кривая D-разбиения; б) - мнимая ось плоскости корней.

Этому уравнению при соответствует поверхность S. При изменении коэффициентов корни тоже изменяются и попадают на мнимую ось только тогда, когда точка в пространстве коэффициентов попадает на поверхность S. При пересечении такой поверхности корни переходят из одной плоскости в другую. Можно сделать вывод о том, что поверхность S разделяет пространство коэффициентов на области, каждой точке которых соответствует характеристическое уравнение 3-й степени, имеющее определенное число корней в правой и левой части плоскости корней. Обозначим эти области , где m - число корней уравнения в правой полуплоскости. Для нашего примера можно наметить в пространстве коэффициентов четыре области: , , , . Последняя область является областью устойчивости. Такое разбиение пространства на области с различным значением m называется D-разбиением. Переход через границу D-разбиения соответствует переходу корней уравнения через мнимую ось.

В некоторых случаях необходимо выяснить влияние одного параметра на устойчивость САР. Обозначим этот параметр через ν. Предположим, что этот параметр входит линейно в характеристическое уравнение вида: ….(2.27)

Границы D-разбиения, согласно уравнению (2.26), определяются с помощью выражения …(2.28). Отсюда …(2.29).

При построении границы D-разбиения достаточно построить ее для положительных значений ω и дополнить зеркальным отображением построенного участка относительно действительной оси. Обычно нас интересует D-разбиение не всей комплексной плоскости параметра ν, а лишь ее действительной оси, которой соответствуют действительные значения v. На рис. 2.13 показан вид границы D-разбиения в плоскости . При изменении в плоскости S мнимая ось проходит снизу вверх, при этом левая полуплоскость остается слева. Будем штриховать мнимую ось слева, как это показано на рис. 2.13 б.

Такому движению по мнимой оси соответствует движение по границе D-разбиения в плоскости ν (рис. 2.13 а), которую будем также штриховать слева по обходу при изменении ω в диапазоне . Если в плоскости v пересекать границу D-разбиения по направлению штриховки (стрелка 1, рис. 2.13 а), то в плоскости корней S один корень переходит из правой полуплоскости в левую. Если в плоскости v пересекать границу D-разбиения против штриховки (стрелка 2, рис. 2.13 а), то в плоскости корней S один корень переходит из левой полуплоскости в правую. Направление штриховки и число штриховок определяют направление перехода корней через мнимую ось и их число. Поэтому для разметки областей достаточно знать распределение корней относительно мнимой оси при каком-либо произвольном значении параметра.

Рис. 2.13. Граница D-разбиения: а) - кривая D-разбиения; б) - мнимая ось плоскости корней.

Переходя в плоскости v от этого значения параметра v к любому другому, по числу пересечений границы D-разбиения и направлению штриховки, можно определить значение m в любой точке. Областью устойчивости будет область и претендентом на эту область (отрезок) - область (отрезок), к которой направлена штриховка.

2. Пример.

Пусть дано характеристическое уравнение САР в виде:

…(2.30), где - заданные постоянные времени; K - общий коэффициент усиления.

САР состоит из трех апериодических звеньев первого порядка. Необходимо определить значения К, при которых система устойчива.

Построим границу D-разбиения в плоскости комплексного параметра К и будем иметь в виду лишь разбиение действительной оси, т.е. действительные значения К.

Граница D-разбиения соответствует уравнению:

…(2.31).

Граница D-разбиения согласно выражению (2.31) представлена на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Граница D-разбиения.

Претендентом на область устойчивости является область S, к которой направлена штриховка границы D-разбиения. Можно показать, что эта область является не только претендентом, но и самой областью устойчивости. Действительно, точка (0, 0), т.е. , лежащая в области S, принадлежит области устойчивости ), ибо при характеристическое уравнение (2.30) превращается в уравнение ,

все три корня ( , , ) которого лежат в левой полуплоскости. Значит САР устойчива, если действительные значения К изменяются в пределах, определяемых отрезком АБ. Предельное значение К определяется точкой Б. Система устойчива и при отрицательных значениях К (отрицательные значения К могут быть при положительной обратной связи). Для нахождения К_пр (точка Б) следует определить значение ω, при котором , где - предельное значение K, при котором САР устойчива.

Пусть корень уравнения отличен от нуля ( ), тогда . Опуская промежуточные вычисления, из уравнения (2.31) получим:

; , где ; .

На рис. 2.14 показаны области . Область в данном случае отсутствует. Это означает, что при положительных значениях и любом значении К невозможно, чтобы все три корня уравнения (2.30) находились в правой полуплоскости.

3. При расчете и проектировании САР иногда бывает необходимым исследовать влияние её различных параметров на устойчивость, для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, т.е. определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.

Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров. Ниже будет рассматриваться только построение областей устойчивости в плоскости двух параметров. Для построения таких областей на плоскости двух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки имеет место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.

Для построения границы устойчивости используются все три признака существующих границ устойчивости. Для границы устойчивости первого типа это будет равенство . Для границы устойчивости третьего типа – равенство .

Для получения условия, соответствующего границе устойчивости второго типа (колебательной), можно использовать различные критерии устойчивости.

Для систем, описываемых уравнениями не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: .

Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса , т.е. прохождение кривой Михайлова через начало координат.

4. Предположим, что два рассматриваемых параметра системы регулирования А и В входят линейно в характеристический комплекс. Тогда для границы устойчивости колебательного типа уравнение распадается на два уравнения:

…(5.26).

Здесь величина ω дает значения чисто мнимого коня, т.е. частоту гармонических колебаний системы.

Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых D-разбиения, соответствующая границе устойчивости.

Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых D-разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых, производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения ω, надо штриховать её с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных (5.26):

…(5.27).

Если же определитель отрицателен, то кривую следует штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр В – по оси ординат вверх.

4.1. В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема которой изображена на рис. 5.4.

Для этой системы было получено характеристическое уравнение:

.

Предположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления К и постоянной времени .

Характеристический комплекс . Уравнения, определяющие границу устойчивости, .

Решая их совместно относительно параметров К и , получим:

.

Задаваясь затем различными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, по этим формулам можно вычислить значения искомых параметров и составить таблицу, одинаковую для положительных и отрицательных частот.

По полученным данным строим кривую D-разбиения (рис. 5.12).

Кривая имеет гиперболический вид с асимптотами при и при .

Для нанесения штриховки найдем знак определителя (5.27). Необходимые для этого частные производные будут при и :

. Определитель получается равным:

.

Для отрицательных частот, т.е. при изменении частоты от до 0, полученный определитель будет положительным. Поэтому при движении по полученной кривой снизу вверх ( от до 0) необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой. Для положительных частот, т.е. при изменении частоты в пределах от 0 до , полученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой сверху вниз (от 0 до ) необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой. Снизу полученной кривой получится двойная штриховка.

Рис. 5.12

Область устойчивости практически уже сформировалась. Т.к. параметры и должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей и .

Это можно показать и на основе использования двух оставшихся условий устойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если приравнять нулю свободный член: , что дает условие . Это условие выполняется на оси ординат. Граница устойчивости третьего типа получается при , что дает условие . Это условие выполняется на оси абсцисс.

Т.о., область устойчивости в плоскости параметров и получена окончательно. Для любых значений и можно сразу ответить, устойчива система или неустойчива, смотря по тому, попадает или не попадает точка, определяемая этими значениями параметров, в область устойчивости.