§ 6.6. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

1. Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику (лах) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (лфх) разомкнутой системы.

Построение лах производится по выражению , где - модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (5.29).

Построение лфх производится по значению частотной передаточной функции (5.29). Для построения лах лфх удобно использовать стандартную сетку, изображенную на рис. 4.10.

Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду . При подстановке получаем: …(5.34). Фаза частотной передаточной функции:

…(5.35).

На основании (5.35) и (5.36) можно легко, без дополнительных вычислений построить асимптотическую лах, для чего на стандартной сетке (рис. 5.25) наносятся вертикальные прямые при сопрягающих частотах и . Для определенности построения возьмем передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде: , которой соответствует выражение для модуля в логарифмических единицах …(5.36).

Рис. 5.25.

Примем, что выполняется условие . Тогда для сопрягающих частот будет выполняться условие . Построение асимптотической лах начинается с области низких частот. Если частота меньше первой сопрягающей частоты: , то выражение (5.36) приобретает вид , которому соответствует прямая с наклоном 20 дб/дек, проходящую через точку А с координатами сек^-1, и через точку Е с координатами , . Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провести в низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точка В). Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе (5.34), то соответственно необходимо «изломать» лах на 20 дб/дек вниз, т.е. провести следующую асимптоту с наклоном, большим на 20 дб/дек. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в числителе (5.34), то соответственно необходимо «изломать» лах на 20 дб/дек вверх.

В соответствии с выражением (5.36) для рассматриваемого примера в точке В необходимо «изломать» лах на 20 дб/дек вниз, а в точке С – на 20 дб/дек вверх и в точке D – на 40 дб/дек вниз. Т.о., последняя высокочастотная асимптота в рассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/дек.

Аналогичное построение лах м.б. сделано при любом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной асимптоты, который должен быть равен дб/дек. Эта асимптота может быть построена по одной точке с координатами сек^-1, или по точке пересечения асимптоты с осью частот (ось нуля децибел), которая имеет координаты и .

Выражение для фазового сдвига (5.35) в рассматриваемом примере приобретает вид: …(5.37).

Каждый из углов представляет, по сути дела, одну и туже зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. Поэтому достаточно построить, например, только зависимость (см. рис. 5.25). Все остальные слагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы при соответствующей частоте иметь фазовый сдвиг 45 º. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (5.37).

Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться к выражению (5.34). Если числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит комплексные корни, то в выражениях (5.34) и (5.35) появятся члены, имеющие соответственно вид и . В этом случае для построения лах удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням. Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содержится колебательное звено, то выражение (5.34) можно записать в виде:

.

Первое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем. Для построения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные на рис. 4.18.

Аналогичным образом стоится лфх. Для построения фазовой характеристики колебательного звена можно использовать графики, приведенные на рис. 4.18.

В более сложных случаях, когда выражение для передаточной функции разомкнутой системы трудно представить в виде произведения простых сомножителей и оно имеет общий вид, построение лах и лфх можно производить обычным вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции при различных частотах, лежащих в пределах от 0 до .

2. Обратимся теперь к определению устойчивости по построенным лах и лфх. Ограничимся вначале случаем, когда разомкнутая система устойчива или нейтральна. Кроме того, будем пока рассматривать системы с астатизмом не выше второго порядка.

Как следует из рис. 5.16, 5.18 и 5.19, в абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях, меньших чем единица, а в условно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать четное число раз (два, четыре и т.д.).

Это позволяет легко определить устойчивость по виду лах и лфх разомкнутой системы. На рис. 5.26, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точка пересечения лах с осью нуля децибел (точка 1) лежит левее точки, где фазовый сдвиг достигает значения (точка 2).

Рис. 5.26.

На рис. 5.26, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1 по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения дважды при модулях, больших чем единица (точки 3 и 4).

На рис. 5.26, в изображен случай колебательной границы устойчивости и на рис. 5.26, г – случай неустойчивой системы.

Лах и лфх, построенные в качестве примера на рис. 5.25, соответствуют устойчивой системе.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, а также для систем, имеющих астатизм любого порядка, требования к лфх всегда можно сформулировать на основании вида афх, соответствующей устойчивой системе.

Так, например, для системы с астатизмом третьего порядка в случае устойчивой в разомкнутом состоянии системы (см. рис. 5.20) лфх должна проходить так, как это изображено на рис. 5.27. Фазовая характеристика при низких частотах начинается со значения фазового сдвига . Затем фазовый сдвиг уменьшается по абсолютному значению так, чтобы . Фазовая характеристика должна затем «обогнуть» точку пересечения лах с осью нуля децибел (точку 1), после чего после чего фазовые сдвиги м.б. любыми по величине.

Рис. 5.27.

Аналогичным образом можно сформулировать требования к лфх и в других случаях.

Иногда для определения устойчивости пользуются не лах и лфх, а логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы, построенной в координатах «модуль в децибелах – фаза» или «модуль в децибелах – запас по фазе» (см рис. 4.12). Для устойчивой системы эта характеристика должна обогнуть справа точку с координатами и (или ). На рис. 3.12 изображена характеристика, соответствующая устойчивой системе.