§ 6.5. Частотные критерии устойчивости.

При исследовании устойчивости линейных САР, которые описываются дифференциальными уравнениями высоких порядков, использование аналитических критериев оказывается весьма трудоемким. Частотные критерии получили наиболее широкое практическое применение. Это обусловлено их положительными свойствами, такими как:

- позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции разомкнутой системы;

- анализ устойчивости можно выполнять по экспериментально определенным частотным характеристикам;

- с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в САР.

В основе частотных критериев устойчивости лежит известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента.

Пусть дано характеристическое уравнение вида:

…(2.10).

Уравнение (2.10) - это алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами.

Многочлен a(p) можно представить в виде выражения:

… (2.11), где - корни уравнения (2.11).

Произведем замену ( - уравнение мнимой оси), тогда получим:

…(2.12).

Найдем аргумент комплексного числа …(2.13).

При изменении ω в пределах от до аргумент будет изменяться в соответствии с выражением ; …(2.14).

…(2.17).

Уравнение (2.17) представляет собой выражение принципа аргумента, который формулируется следующим образом: изменение аргумента при изменении ω от до равно разности между числом корней l, лежащих в левой полуплоскости, и числом корней m, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на π.

1. Критерий устойчивости Михайлова.

Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (5.9), которая представляет собой характеристический полином:

…(5.16).

Подставим в этот полином чисто мнимое значение , где ω представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического уравнения. При этом получим характеристический комплекс:

…(5.17), где вещественная часть будет содержать четные степени ω: (5.18), а мнимая – нечетные степени ω: (5.19).

Функции представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса.

Характеристический полином (5.16) не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение фазы или аргумента при изменении ω от 0 до ∞ равно , где n – степень полинома . Следовательно, система регулирования будет устойчивой. Если полное приращение аргумента окажется меньше , то система неустойчива. Докажем это.

Если все коэффициенты заданы и задано определенное значение частоты ω, то величина изобразится на комплексной плоскости в виде точки с координатами X и Y или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат. Если же значение частоты ω менять непрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и по направлению, описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется годографом Михайлова (рис. 5.5).

Рис.5.5. Рис.5.6.

Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты ω и по формулам (5.18) и (5.19) вычисляются и . Результаты расчетов сводятся в таблицу, по которой и строится затем кривая.

Выясним связь между видом кривой Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения. Для этого определим, чему должен равняться угол поворота Ψ вектора при изменении ω от нуля до бесконечности. Для этого запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей:

…(5.20), где - корни характеристического уравнения. Характеристический вектор можно тогда представить в следующем виде: …(5.21).

Каждая из скобок представляет комплексное число, следовательно, представляет собой произведение n комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются, Поэтому результирующий угол поворота вектора при изменении ω от нуля до бесконечности будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей (5.21): …(5.22).

Определим каждое слагаемое в отдельности.

1. Пусть какой-либо корень, например, является вещественным и отрицательным, т.е. , где . Сомножитель в выражении (5.21), определяемый этим корнем, будет тогда иметь вид .

Построим годограф этого вектора на комплексной плоскости при изменении ω от нуля до бесконечности (рис. 5.6, а). При вещественная часть , а мнимая . Этому соответствует точка А, лежащая на вещественной оси. При вектор будет изменяться так, что его вещественная часть будет по-прежнему равна , а мнимая часть (точка В на графике). При увеличении частоты до бесконечности конец вектора уходит в бесконечность, причем конец вектора все время остается на вертикальной прямой, проходящей через точку А, а вектор поворачивается против часовой стрелки: результирующий угол поворота вектора .

2. Пусть теперь корень является вещественным и положительным, т.е. , причем . Тогда сомножитель в (5.21), определяемый этим корнем будет иметь вид . Аналогичные построения (рис. 5.6, б) показывают, что результирующий угол поворота будет . Знак минус показывает, что вектор поворачивается по часовой стрелке.

3. Пусть два корня, например, и представляют собой комплексные сопряженные величины с отрицательной вещественной частью, т.е. . Сомножители в выражении (5.21), определяемые этими корнями, будут иметь вид:

.

При начальные положения двух векторов определяются точками и (рис. 5.7, а).

Рис.5.7.

Первый вектор повернут относительно вещественной оси по часовой стрелке на угол , а второй вектор – на тот же угол против часовой стрелки. При увеличении ω от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят кверху в бесконечность и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых. Результирующий угол поворота первого вектора . Результирующий угол поворота второго вектора . Вектор, соответствующий произведению , повернется на угол .

4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, т.е. . Проводя построения, аналогичные предыдущим (рис. 5.7, б), можно получить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведению двух сомножителей, будет .

Т.о., если характеристическое уравнение будет иметь l корней с положительной вещественной частью, то каковы бы не были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная . Всем же остальным корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная . В результате общий угол поворота вектора при изменении ω от нуля до бесконечности, согласно формуле (5.22), будет …(5.23).

Этим выражением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристического уравнения. В 1936 году А.В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для линейных систем любого порядка.

Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор , описывающий кривую Михайлова, при изменении ω от нуля до бесконечности имел угол поворота . Эта формулировка непосредственно вытекает из (5.23). Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, т.е. д.б. . Отсюда определяется требуемый результирующий угол поворота вектора.

Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец её уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения n (рис. 5.8).

Рис.5.8. Рис.5.9.

Число квадрантов, большее n, кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость системы всегда связана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньшим, чем (рис.5.9). Сказанное выше позволяет сформулировать критерий Михайлова в несколько измененном виде.

Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательно n квадрантов. Поэтому корни уравнений и должны чередоваться. Т.к. кривая Михайлова всегда начинается с точки, расположенной на вещественной оси (рис. 5.8), где мнимая часть обращается в нуль: , то при постепенном увеличении частоты от нуля до бесконечности должна обратиться в нуль сначала вещественная часть: , затем мнимая: , затем опять вещественная: и т.д., причем .

По кривой Михайлова можно судить, сколько корней с положительными вещественными частями содержит характеристическое уравнение данной неустойчивой системы. Для нахождения искомого числа l должна использоваться зависимость (5.23). Если известны результирующий угол поворота вектора и степень характеристического уравнения n, то в уравнении (5.23) неизвестным будет только l.

При подсчете результирующего угла поворота Ψ всегда следует иметь в виду, что при четной степени уравнения кривая Михайлова стремится к бесконечности параллельно оси X и при нечетной – параллельно оси Y. Это видно из выражений (5.18) и (5.19.), т.к. при четной степени наивысшая степень ω будет стоять в выражении X, а при нечетной – в выражении Y.

Так, например, для кривой, показанной на рис.5.9 и соответствующей , результирующий угол поворота . Отсюда имеем и число корней в правой полуплоскости .

Наличие границы устойчивости всех трех типов м.б. определено по кривой Михайлова следующим образом.

В случае границы устойчивости первого типа (нулевой корень) отсутствует свободный член характеристического полинома и кривая Михайлова идет из начала координат (рис. 5.10, а).

Рис. 5.10.

При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) левая часть характеристического уравнения, т.е. характеристический полином, обращается в нуль при подстановке : …(5.24), откуда вытекают два равенства: …(5.25).

Это означает, что точка на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис. 5.10, б). При этом величина есть частота незатухающих колебаний системы.

Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается, как показано на рис. 5.10, в). При этом коэффициент характеристического полинома (5.16) будет проходить через нулевое значение, меняя знак плюс на минус.

Необходимо помнить, что все остальные корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части. Графически это выражается в том, что в первых двух случаях после малой деформации кривой Михайлова около начала координат (рис. 5.10), а в третьем случае при малом , кривая Михайлова должна удовлетворять критерию устойчивости.

Применим критерий Михайлова для определения устойчивости рассмотренной в предыдущем параграфе следящей системы (рис. 5.4). Из полученного характеристического уравнения определяем характеристический полином:

и характеристический комплекс:

. Вещественная и мнимая части равны:

.

Примерный вид кривой Михайлова для этого случая изображен на рис. 5.11.

Рис. 5.11.

Найдем условие устойчивости из требования чередования корней . Корень находится из уравнения . Отсюда имеем первое условие устойчивости: .

Корень находится из уравнения . Подставляя эти значения в требуемое условие , получаем второе условие устойчивости системы , которое, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости по критерию Гурвица.

2. Критерий устойчивости Найквиста.

Ранее было введено понятие передаточной функции разомкнутой системы. Эта функция м.б. представлена в виде: …(5.28). При подстановке получается частотная передаточная функция разомкнутой системы:

…(5.29).

Частотная передаточная функция разомкнутой системы представляет собой комплексное число.

Рис. 13.

Рис. 14.

Если изменять частоту входного воздействия от до и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место этих точек образует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (рис. 14). Ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам, является зеркальным отражением ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси.

На афх для удобства могут отмечаться точки, соответствующие определенным частотам, например, и т.д. Вдоль кривой иногда рисуют стрелки, которые показывают направление возрастания частоты (рис.5.14).

В реальных системах всегда выполняется условие . Поэтому при частоте, стремящейся в бесконечность, модуль частотной передаточной функции стремится к нулю и точка с частотой попадает в начало координат.

Сформулируем необходимые и достаточные требования к афх разомкнутой системы, при выполнении которых САР в замкнутом состоянии будет устойчивой.

Будем рассматривать только устойчивые в разомкнутом состоянии системы. Это значит, что полюсы выражения (5.28), т.е. корни уравнения

, лежат в левой полуплоскости.

Введём в рассмотрение вспомогательную функцию:

…(5.31), где числитель

…(5.32) представляет собой характеристический полином замкнутой системы.

Сделаем подстановку и найдем комплекс …(5.33).

Будем теперь изменять частоту ω от до и изобразим получившуюся афх на комплексной плоскости (рис. 15, а). Рассмотрим результирующий угол поворота вектора при изменении частоты от до . Этот угол представляет собой изменение аргумента (5.33), который по правилу деления комплексных чисел равен разности аргументов числителя и знаменателя : .

Рис.15.

Числитель (5.33) представляет собой характеристический комплекс замкнутой системы. Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, то при изменении частоты от до аргумент изменится на величину , где - степень характеристического полинома. При построении кривой Михайлова результирующий угол поворота был равен , но там частота изменялась от 0 до .

Знаменатель (5.33) представляет собой комплекс той же степени , причем по предположению все корни (5.30) лежат в левой полуплоскости. Поэтому результирующий угол поворота вектора при изменении частоты от до также будет равен . Отсюда следует, что в рассматриваемом случае результирующий угол поворота вектора будет равен нулю: . Это означает, что для устойчивой в замкнутом состоянии системы годограф вектора не должен охватывать начало координат (рис. 15, а).

Частотная передаточная функция отличается от вспомогательной на единицу. Поэтому можно строить афх разомкнутой системы по выражению (5.29), что проще. Но в этом случае афх не должна охватывать точку с координатами . Это является необходимым и достаточным условием того, чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии (рис. 15, б).

При определении устойчивости достаточно построить афх только для положительных частот, т.к. ее ветвь, соответствующая отрицательным частотам, может быть легко получена зеркальным отображением относительно оси вещественных. На рис. 16, а изображён случай так называемой абсолютно устойчивой системы. Этот термин означает, что система остается устойчивой при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи. Напомним, что передаточная функция разомкнутой статической системы м.б. представлена в виде: .

Нетрудно видеть, что уменьшение общего коэффициента усиления приводит к уменьшению модуля (5.29), а это в случае, изображенном на рис. 16, а, не может привести к охвату годографом точки .

На рис. 16, б изображен случай т.н. условно устойчивой системы. Здесь система будет устойчивой при значении общего коэффициента усиления, лежащем в некоторых пределах. Как увеличение, так и уменьшение общего коэффициента усиления может привести к охвату годографом точки , что будет соответствовать неустойчивости системы в замкнутом состоянии.

На рис. 16, в изображен случай, когда система находится на границе устойчивости. Граница устойчивости будет колебательного типа. Это вытекает из того, что при некоторой частоте, при которой годограф пересекает точку , имеет место равенство , что м.б. записано в виде .

Последнее выражение представляет собой характеристическое уравнение, которое обращается в нуль при подстановке . Таким образом, чисто мнимый корень является решением характеристического уравнения.

На рис. 16, г изображен случай неустойчивой системы.

Рис.16.

Пример. С помощью критерия Найквиста необходимо исследовать устойчивость системы регулирования, для которой передаточная функция в разомкнутом виде имеет вид: .

Определим предельный коэффициент усиления, при котором САР устойчива. Частотные годографы для этой системы при разных К показаны на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Частотные годографы.

Согласно критерию Найквиста, при система устойчива, при - неустойчива. Для определения предельного значения необходимо найти значение К, при котором годограф проходит через точку , т.е. решить уравнение:

Составив уравнения для мнимых и действительных частей, находим ω и К_пр:

; .