26. Функції розподілу та числові характеристики випадкових сигналів.

Математична модель змінюється в часі випадкового сигналу називається випадковим процесом. За визначенням, випадковий процес X (t) це функція особливого виду, що характеризується тим, що значення, що приймаються нею в будь-який момент часу t, є випадковими величинами. Характеристики таких сигналів є статистичними, тобто мають імовірнісний вигляд.

Одновимірна функція розподілу ймовірностей (x, tn) визначає ймовірність того, що в момент часу tn значення випадкової величини X (tn) не перевищить значення x: F(x, t_n) = P{X(t_n) ≤ x}.

Одновимірна щільність ймовірностей p (x, t) випадкового процесу Х (t) характеризує розподіл ймовірностей реалізації випадкової величини Х (tn) в довільний момент часу tn:

p (x, tn) = dF (x, tn) / dx.

Моменти розподілу випадкових сигналів дозволяють охарактеризувати випадкові процеси стійкими і невипадковими інтегральними оцінками.

Математичне сподівання або перший момент розподілу, являє собою статистичне усереднення випадкової величини X (tn) - залежність середнього зваженого значення випадкового процесу від незалежної змінної (часу):

m_x(t) º M{Х(t)}º = x p(x; t) dx

Середній квадрат випадкового процесу (функція другого моменту) - залежність середнього зваженого значення (математичного очікування) квадрата значень випадкового процесу від незалежної змінної, тобто потужність процесу:

M{Х²(t)}º = x² p(x; t) dx.

Функція дисперсії - другого центрального моменту випадкового процесу, визначає функцію середнього зваженого значення (математичного очікування) квадрата різниці Х (t)-mx (t), яка називається флюктуаціонной частиною процесу:

D_x(t) = M{[Х(t)-m_x(t)]²} = [x(t)-m_x(t)]² p(x; t) dx.

Функція середнього квадратичного відхилення (standard deviation) служить амплітудної мірою розкиду (флуктуацій) значень випадкового процесу з тимчасової осі щодо математичного очікування процесу:

_x(t) = .

Двовимірна щільність ймовірностей. Двовимірна щільність ймовірностей p (x1, x2; t1, t2) визначає ймовірність спільної реалізації значень випадкових величин Х (t1) і Х (t2) в довільні моменти часу t₁ і t₂ і в якійсь мірі вже дозволяє оцінювати динаміку розвитку процесу:

m_x(t) º = x₁(t₁) p(x₁,t₁; x₂,t₂) dx₁ dx₂.

D_x(t) = _x²(t)= [x₁(t₁)- ]² p(x₁,t₁; x₂,t₂) dx₁ dx₂.

Кореляційні функції випадкових процесів. Характеристикою динаміки зміни двовимірної випадкової величини {X (tn), X (tm)} є кореляційна функція, яка описує випадковий процес в цілому:

R_X(t_n, t_m) = x(t_n)x(t_m) p(x_n,t_m; x_n,t_m) dx_n dx_m.

Випадкові процеси розрізняють за ступенем однорідності їх перебігу в часі (по аргументу).

Нестаціонарні процеси. У загальному випадку значення функцій математичного сподівання, дисперсії і кореляції можуть бути залежними від моменту часу t, тобто змінюватися в часі. Такі процеси становлять клас нестаціонарних процесів.

Стаціонарні процеси. Процес називають стаціонарним, якщо щільність ймовірностей процесу не залежить від початку відліку часу, і якщо на інтервалі його існування виконуються умови сталості математичного сподівання і дисперсії, а кореляційна функція є функцією тільки різниці аргументів t = t₂-t₁.