5 Лекция 5. Операторный метод расчета переходных процессов, теорема разложения

Цель лекции: познакомить с основами операторного метода, переходом от операторных изображений к временным функциям.

5.1 Основы операторного метода, отыскание операторных изображений некоторых функций.

Идея – замена интегро-дифференциальных уравнений алгебраическими путем замены функций времени функциями некоторого комплексного переменного , называемого оператором.

Заданная функция времени – оригинал. Функция , полученная в результате замены переменной – изображение. Эти функции не равны друг другу. Поэтому между ними ставится знак не равенства, а соответствия, т.е .

Преимущество операторного метода – решение системы алгебраических уравнений много легче решения системы дифференциальных уравнений.

Расчет операторным методом сводится к решению двух задач:

- перевод заданных временных функций в операторные (т.е. алгебраизация уравнений);

- перевод вычисленных в результате расчета операторных функций во временные.

Первая задача решается с помощью преобразования Лапласа

. (5.1)

Изображение постоянной. .

, т.е. величина, не зависящая от времени, не зависит и от новой переменной.

Изображение суммы двух функций.

Пусть известны изображения

; .

Найти изображение .

Согласно (5.1):

.

Изображение показательной функции.

Если задано , где - постоянная величина, то

.

.

Изображение синуса и косинуса.

По изображению показательной функции находятся изображения

и . По формулам Эйлера , .

Можно показать, что , .

.

Изображение производной.

. При нулевых начальных условиях ,

.

Изображение интеграла.

Найдем изображение , если известно изображение функции

.

,

где , .

Если - ток, протекающий через конденсатор, то - заряд на его пластинах ). Если в начальный момент конденсатор не заряжен, , то . Таким образом, интегрированию функции времени соответствует в операторной форме деление изображение этой функции на оператор .

Пример - Найти ток при включении цепи на постоянное напряжение (см. рисунок 1.1).

Уравнение электрического равновесия цепи имеет вид

.

Переходим к операторным изображениям

, , т.к. . .

В операторной форме получим: и изображение тока

.

Для обратного перехода к временным функциям преобразуем выражение

.

Известно, что , а т.к. полученное изображение

сходно с указанным, то .

5.2 Теорема разложения

Если операторное изображение может быть представлено в виде

, где и - многочлены различных степеней , то оригинал определяется с помощью теоремы разложения.

Пусть .

Теорема разложения применима к определению оригинала такой операторной функции при следующих условиях:

- степень числителя степени знаменателя, т.е. ;

- все корни знаменателя , , … , находимые из условия ,

различны;

- ни один из корней знаменателя не совпадает с корнями числителя.

Согласно математическому анализу, дробь, удовлетворяющая этим условиям, может быть разложена в ряд, состоящий из простых дробей

, (5.2)

где , , … - корни знаменателя.

Найдем коэффициенты уравнения (5.2). Для определения коэффициента умножим обе части равенства (5.2) на , а затем приравняем

. (5.3)

Если в (5.3) подставить , то в правой части остается только , а в левой получается неопределенность, т.к. и .Раскроем ее , т.е. .

Подставив найденные значения коэффициентов в , получим

, но . Следовательно

- теорема разложения. (5.4)

Если операторное изображение получилось в виде , то теорема разложения запишется в виде

, (5.5)

где и - числитель и знаменатель дроби при .