3 Лекция 3. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями энергии

Цель лекции: познакомить с особенностями протекания переходных про-

цессов в цепях с последовательным соединением элементов и при их подключении на постоянное напряжение.

3.1 Переходный процесс в цепи

Так как расчет с конденсатором удобнее вести через , то все входя-щие в (3.1) величины выразим через это напряжение ; ; . Подставив эти выражения в (3.1),

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Освободимся от коэффициента при

, (3.2)

где _{пр. св.}

Определяем _пр. по закону Ома. Принужденная составляющая зависит от формы приложенного напряжения. Если , то _пр. . Если , то напряжение и ток установившегося режима так же будут синусоидальными. В этом случае расчет ведется в комплексной форме, а затем находятся мгновенные значения как функции времени.

Находим u_{С св.}, которая и определяет длительность и характер переходного процесса.

_. (3.3)

Решением (3.3) будет: . (3.4)

Корни характеристического уравнения определяются как . (3.5)

Значения корней зависят от соотношения параметров цепи. Может быть

три случая:

а) > .

При этом условии и корни p₁, p₂ получаются вещественными, отрицательными, различными по величине.

В самом деле, если обозначить , где – вещественное число, меньше чем , то < 0; < 0. (3.5а)

По абсолютной величине | ₁ | < | ₂ |. Такой режим называется апериодическим, т.к. ток и напряжение приближаются к установившемуся режиму, не меняя своего направления; б) . При этом условии и корни также вещественные, отрицательные.

В этом случае . (3.6)

Этот режим называют критическим;

в) < . В этом случае корни и комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью ;

, (3.7)

где – коэффициент затухания;

= - угловая частота собственных колебаний.

Такой режим называется периодическим или колебательным. Здесь происходит многократный обмен энергии между катушкой и конденсатором: энергия как бы переливается то в магнитное поле (когда растет ток), то в электрическое поле (когда растет напряжение на конденсаторе).

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий.

. (3.8)

. (3.9)

При : ,

. (3.10)

Из уравнений (3.10) легко определяются и .

3.2 Включение цепи на постоянное напряжение

Считаем, что цепь рисунка 3.1 включается на постоянное напряжение

u = U₀ . Тогда и начальные условия (3.10) примут вид

;

, откуда , .

С учетом полученного из (3.8) и (3.9.) имеем

,

. (3.11)

Исследуем полученные выражения при разных значениях корней.

а) апериодический режим В этом случае, согласно (3.5а), имеем

> , > и > .

В соответствии с этим графики и имеют вид, представленный на рисунке 3.2.

б) колебательный режим. Так как в этом случае и – сопряженные комплексы, то , а ,

где - резонансная частота.

Подставим комплексные корни в выражения (3.11) и проведем некоторые

преобразования:

= ,

т.к. . (3.12)

Переведем стоящие в скобках комплексы в показательную форму (рисунок 3.3)

Подставив (3.13) в (3.12), получим

. (3.14)

Подобным же образом можно преобразовать выражение тока

= .

(3.15)

Если учесть, что , то можно получить ток в несколько ином виде: .

Для построения графиков и нужно знать период собствен-

ных колебаний и постоянную времени .

Порядок построения затухающей синусоиды.

1. По обе стороны от оси строятся огибающие.

2. В том же масштабе, что и откладываются доли периода (при этом надо учитывать начальный угол).

3. Вписывается синусоида, которая в точках максимума касается огибающих.

Так как представляет собой разность постоянной величины и затухающей синусоиды, то для уменьшения графической работы на рисунке 3.4 эта синусоида построена с учетом знака, причем линия использована как ось, т.е. сразу построен график , а не составляющие этого напряжения.

Если обозначить амплитуды напряжения и тока через и , то их отношение , т.е. равно волновому сопротив-лению. Идеальный случай, когда и цепь можно считать сверхпроводя-щей. При этом и . Но при энергия будет переходить от магнитного поля к электрическому без затухания. Отсюда еще одно название

- угловая частота незатухающих колебаний и - период собственных незатухающих колебаний. Угол при получается равным 90⁰.

В реальных цепях и процесс будет затухающим. Для оценки быстро-

ты затухания сравним две соседние амплитуды тока (или напряжения) с одинаковым знаком. Пусть , , т.к. . Отношение этих амплитуд (3.16)

называется декрементом колебания. Он не зависит от времени , а зависит лишь от параметров цепи . Обычно пользуются не им, а логарифмическим декрементом колебания

. (3.17)

В колебательных контурах стремятся сделать как можно меньше, т.к. тогда затухание в контуре почти не сказывается. На графиках , т.е. и процесс затухает довольно быстро.