2 Лекция 2. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии

Цель лекции: усвоить классический метод расчета переходных процессов в простейших электрических цепях.

2.1 Короткое замыкание цепи с

Пусть заданы значения . Определить .

Составляем уравнение замкнутого контура по второму закону Кирхгофа в дифференциальной форме:

. (2.1)

Находим принужденную составляющую тока _{пр уст.} (переходный процесс в катушке не зависит от внешнего напряжения U). Следовательно _св.

Свободная составляющая тока из (2.1) _св .

Характеристическое уравнение , т.е.

Постоянную интегрирования определяем из начальных условий:

при _{св. .}

На рисунке 2.2 приведена кривая . (2.2)

Проверим расход энергии. До начала переходного процесса в магнитном поле катушки была запасена энергия _м . Энергия, перешедшая за время переходного процесса в тепловую

.

Таким образом, весь запас энергии магнитного поля перешел в тепловую энергию в сопротивлении .

2.2 Включение цепи на постоянное напряжение

Выражаем ток через . (2.4)

С учетом (2.4) уравнение электрического равновесия цепи запишем в виде

, (2.5)

где _{пр. св.}.

Определяем _{пр. пр.=} . (2.6)

Здесь ток будет протекать до тех пор, пока конденсатор не зарядится.

Так как уравнение (2.5) первого порядка, то свободная составляющая напряжения _св . (2.7)

Характеристическое уравнение , откуда .

Ом_.·Ф = Ом_.· Ом^.-1_.· с. = с.

Определяем постоянную интегрирования

_{пр. св.} . (2.8)

При , откуда А = U₀ – U, таким образом

_св. . (2.9)

Итоговый результат: . (2.10)

При .

Зарядный ток конденсатора: (2.11)

При . (2.12)

На рисунке 2.4 приведен примерный вид кривых и .

2.3 Включение цепи на синусоидальное напряжение

Пример такого переходного процесса – включение трансформатора в режиме холостого хода при малом насыщении сердечника.

Переходные процессы в цепях переменного тока сильно зависят от того, в какой момент, при каком мгновенном значении напряжения происходит включение цепи. Поэтому обязательно надо учитывать не только действую-щее значение или амплитуду напряжения сети, но и начальный фазовый угол в момент включения цепи.

Рассмотрим цепь рисунка 2.5.

Составляем уравнение электрического равновесия цепи

. (2.13)

Принужденная составляющая тока _{пр. уст.} , но при установившемся

режиме ток определяется законом Ома

_{пр. уст.} , (2.14)

где ;

.

В более сложных цепях ток установившегося режима удобнее определять в комплексной форме, а затем от İ _уст. перейти к _уст. .

Свободная составляющая тока _св , (2.15)

где , а .

Общий ток _{пр. св} . (2.16)

При (по первому закону коммутации). Откуда .

Окончательно получим _св , (2.17)

а . (2.18)

Из (2.18) видно, что ток состоит из двух частей – синусоидального тока с постоянной амплитудой и постоянного тока, убывающего по экспоненте. Величина общего тока существенно зависит от начального угла . Рассмотрим два крайних случая:

а) или π.

В этом случае _св и переходного процесса не будет, т.к. ток установившегося режима (а значит и связанная с ним энергия магнитного поля) в момент включения проходит через ноль. Скачка энергии не получается и ток сразу становится током установившегося режима;

б) π /2.Здесь принимает наибольшее значение и амплитуда тока переходного процесса также будет наибольшей. Это объясняется тем, что включение происходит в момент, когда ток установившегося режима максимален. Рассмотрим график рисунка 2.6.

Из графика видно, что ток особенно увеличивается во второй и третьей четверти первого периода, причем это увеличение сильно зависит от постоянной времени . Если велико, то ток через время Т/2 после включения может достичь почти удвоенной амплитуды I_{m уст.} (но ни при каких условиях не превзойдет _уст. ).