3.4.2. Розуміння понять "цільова функція" та "обмеження"

Поняття "цільова функція" і "обмеження" можуть бути математично пояснені з використанням геометричних уявлень. Наприклад, при наявності тільки двох змінних і кількох обмежень на площині утворюється деяка зона, окреслена прямими, які відповідають обмеженням і осям координат (див.рис.3.5)

Х₂

а₂₁ х₁+а₂₂х₂≤в₂

а₁₁ х₁ +а₁₂х₂ =в₁

с₁х₁+с₂х₂→ max

ОДР

0 х₁

рис.3.5 Геометрична інтерпретація цільової функції і обмежень

Ця зона називається областю допустимих рішень (ОДР). Смисл ОДР полягає в тому, що всі значення змінних, які знаходяться в середині неї, не призводять до порушення обмежень. Цільова функція в геометричній інтерпретації представляє з себе пряму, яка шляхом паралельного переміщення дотична з областю допустимих рішень зі сторони максимальних значень цільової функції ( у випадку, якщо ЦФ→ min, зі сторони мінімальних значень). Рішення задачі як раз і відповідає точці дотику.

3.4.3. Методи рішення задачі

Задачу лінійного програмування можна вирішувати двома методами: аналітичним і графічним.

Аналітичний метод - це послідовність ітераційних обчислень, які дозволяють отримати спочатку наближене рішення, а потім наблизити його до оптимального з будь-якою наперед заданою точністю. Метод табульований, має програмну інтерпретацію, широко використовується на практиці. Має назву симплекс-метода. Не має великої наочності.

Графічний метод є наочним і зручним для ілюстрації. Метод засновується на геометричному представленні цільової функції і обмежень, і розглянутий вище. Сутність методу полягає у виконанні наступних операцій:

• знаходяться координати вершин області допустимих рішень, як точки перетину прямих, які відповідають обмеженням;

• визначаються послідовно значення цільової функції, які відповідають координатам вершин;

• визначається вершина, координата якої відповідає оптимуму (цільова функція досягає максимуму чи мінімуму);

• координати цієї вершини приймаються в якості рішення поставленої задачі лінійного програмування.

Градієнтний метод рішення задачі лінійного програмування зручно використовувати при кількісних змінних, рівним двом. Можливе використання цього методу і при трьох змінних, але рішення виявляється більш складним. В цьому випадку цільова функція представляється у вигляді площин, а область допустимих рішень у вигляді деякого багатогранника.

3.4.4. Приклад задачі лінійного програмування стосовно підприємства зв'язку

Вихідні дані: підприємство зв'язку надає кілька (r) типів послуг:

перша послуга (j=1) - надання міжміських розмов. На цю послугу витрачається

ресурсів першого виду (наприклад, електроенергії) в кількості а₁₁;

ресурсі другого виду ( наприклад, трудових) в кількості а₂₁;

ресурсів і-го виду (наприклад, фінансових) в кількості а_і1;

ресурсів m-го виду (наприклад, паперу) в кількості а_m1;

кількість послуг першого виду х₁;

Прибуток, який отримує підприємство від надання однієї послуги першого виду, складає величину с₁.

Послуга під номером j - передача телеграм. На цю послугу витрачається:

ресурсів першого виду - в кількості а_1j;

ресурсів першого виду - в кількості а_2j;

ресурсів і-го виду - в кількості а_{і j};

ресурсів m-го виду - в кількості а_{m j};

кількість послуг j-го виду х _j;

Прибуток, який отримує підприємство від надання послуги j-го виду складає величину с _j.

Послуга під номером r (j=r) - передача посилок. На цю послугу витрачається:

ресурсів першого виду - в кількості а_1r;

ресурсів першого виду - в кількості а_2r;

ресурсів і-го виду - в кількості а_{і r};

ресурсів m-го виду - в кількості а_{m r};

кількість послуг r-го виду х_r;

Прибуток, який отримує підприємство від надання послуги r-го виду складає величину с_r.

В задачі вимагається визначити таку кількість послуг кожного виду, яка б забезпечила підприємству отримання максимального прибутку, не виходячи за межі обмежених ресурсів. Знаходимо вираз для цільової функції і обмежень. Загальна величина прибутку від надання всіх видів послуг є сума величини прибутку від кожної послуги. Тому:

ЦФ : с₁х₁+...+с_j х _j+...+с _rх _r→ max;

Загальні витрати ресурсів кожного виду на кожну послугу також будуть сумуватися. Тому обмеження можуть бути представлені наступним чином:

а₁₁ х₁+...+ а_{1 j} х _j+...+ а_{1 r} ≤ в₁

а₂₁ х₁+...+а_{2 j} х _j+...+ а_{2 r} ≤ в₂

ОБМ а_і1 х₁+...+а_{і j} х _j+...+ а_{і r} ≤ в_і

а_m1 х₁+...+а_{m j} х _j+...+ а_{m r}≤ в_m

Змінні (кількість послуг) - числа позитивні і цілі. Тому граничні умови наступні:

ГРУ : ∞ > х_j ≥ 0.

Таким чином, задача лінійного програмування стосовно роботи підприємства зв'язку набула конкретний фізичний смисл. Рішення її можливе одним з перелічених методів.

Проте діяльність підприємств зв'язку в сучасних умовах не обмежуються рішенням задач оптимального управління. При переході до умов ринкового господарювання все більше значення набуває механізм регулювання зв'язку, який часто має вплив на всю виробничу діяльність підприємства.