4.2 Предел и непрерывность функции двух переменных

Пусть функция f(x,y) определена в некоторой области.

Определение. Число А называется пределом функции f(х,у) при стремлении точки (х,у) к точке ( х₀,у₀ ), если для каждого числа e >0 найдется d >0 такое, что для всех точек ( х, у ), для которых выполняется неравенство: < d, имеет место неравенство: |f(x,y) – A|<e.

При этом пишут:

Определение. Функция f(x,y) называется непрерывной в точке ( x₀ , y₀ ), если выполняется равенство:

Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

4.3 Частные производные

Определение. Пусть функция z= f(x,y) непрерывна в окрестности некоторой точки (x,y). Обозначим через Dx приращение переменной x, соответствующее приращение функции – D_xz:

D_xz=f(x+Dx,y)–f(x,y).

Предел отношения при Dx, стремящемся к нулю, называется частной производной по x функции f(x,y).

Эта частная производная обозначается символами:

или .

Таким образом,

.

Аналогично определяется частная производная по y:

.

Геометрическая интерпретация частных производных

Как и для функции одной переменной, для функции двух переменных можно дать геометрическую интерпретацию производной в точке.

Рассмотрим произвольную точку А(х₀, у₀, z₀) графика функции z=f(x,y) (рис.4.11). Проведем сечения графика плоскостями у=у₀ и x=х₀, параллельными координатным x0z и y0z. В сечениях получим кривые AM и AN. Проведем касательные AS и AT к этим кривым через точку А.

Частная производная функции z=f(x,y) в точке х₀,у₀ численно равна тангенсу угла наклона касательной AS:

=tgb.

Частная производная в точке (х₀ , у₀) численно равна тангенсу угла наклона касательной AT: =tga.

Пример 1.

Дана функция z=x²+y; найти частные производные , .

Решение: =2x; = 1.

Пример 2.

z = x² sin y; Частные производные:

=2x sin y ; = x² cos y.

Пример 3.

z = . Частные производные:

= y x ^y-1 ; = x^y ln x .

Пример 4.

. Частные производные:

= , = .

Пример 5.

u = x² + y² +x t z². Частные производные:

Задание. Найти частные производные от функций.

Варианты к заданию.

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11. ;	12. ;
13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;
19. ;	20. ;	21. ;
22. ;	23. ;	24. .

Частные производные второго порядка

Пусть имеем функцию 2-х переменных z=f(x,y). Частные производные = и = тоже могут быть функциями двух переменных х и у. Поэтому от них снова можно находить частные производные. Эти частные производные обозначаются символами:

; ;

; .

Порядок дифференцирования функции двух переменных:

=	– f(x,y) дифференцируется последовательно два раза по х при фиксированном y.
=	– f(x,y) дифференцируется последовательно два раза по у при фиксированном x.
=	– Смешанная производная: f(x,y) дифференцируется сначала по y (x фиксировано), а потом результат – по x (y фиксировано).

Можно показать, что если функция z=f(x,y) имеет непрерывные смешанные производные, то эти производные равны: = .

От производных второго порядка снова можно вычислять частные производные по х и по у; получим производные третьего порядка и т.д. Частная производная (n)-го порядка есть первая производная от производной (n-1)-го порядка.

Задание. Найти частные производные второго порядка от функций:

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. .
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.