4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

4.1 Технические задачи, приводящие к понятию функции

нескольких переменных

Рассмотрим несколько примеров.

Движение материальной точки

Лыжник покидает трамплин, составляющий угол a с горизонтом, с начальной скоростью V₀. Установить, от каких параметров зависит дальность полета L (рис. 4.1).

Дальность полета, если пренебречь сопротивлением воздуха, выражается известной формулой:

,

здесь g – ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с² ).

Для каждой пары значений V₀ и a эта формула дает определенное значение L, т.е. дальность полета зависит от начальной скорости и начального угла: L является функцией двух переменных :

.

Расчет подъемного крана

Установить, от каких параметров подъемного крана: собственный вес – Р, высота – h, расстояние между колесами (база) – 2 , вылет стрелы – L (L > ), зависит максимальная нагрузка G, при которой сохраняется равновесие (рис. 4.2).

На рисунке показана расчетная схема крана: его центр тяжести лежит на линии CD (весом стрелы пренебрегаем по сравнению с весом крана).

Силы, действующие на кран: вес крана, вес груза, сила реакции опоры в точке А, сила реакции опоры в точке В.

Условие равновесия рычага – сумма моментов всех сил, действующих на кран, относительно точки В равна нулю:

| | – | | (L – ) – | _A|(2 ) = 0.

Обозначим: | |=G, | |=P.

При опрокидывании | _A | = 0, G = G_max:

G_max = P /(L – ).

G_max − максимальная нагрузка, при достижении которой равновесие нарушается.

Видим, что величина максимальной нагрузки зависит от трех параметров: веса крана P, базы и вылета стрелы L, то есть является функцией (зависимой величиной) трех независимых переменных величин, и можно записать: G = f (P, , L) – каждой тройке чисел ( P, , L) функция ставит в соответствие число G_max. Варьируя независимыми переменными, можно запроектировать кран для заданной максимальной нагрузки, исходя из технических условий.

Cиловой расчет параметров процесса резания

При точении детали срезаемый слой металла давит на резец с силой, которая называется силой резания . Ее составляющие в системе координат х,у,z (рис. 4.3) называют главной P_z, радиальной P_y и осевой Р_x.

Величины этих сил определяют по эмпирическим формулам:

,

где C_P, K_P, x_P, y_P, n_P – постоянные величины, зависящие от условий резания (обрабатываемого материала, вида обработки и пр.) и даны в справочниках по резанию в виде таблиц;

t, s, v – глубина (мм), подача (мм/об) и скорость (м/мин) резания – независимые переменные величины.

Таким образом, составляющие силы резания являются функциями трех переменных.

Нагревание тела из неоднородного материала

Материал называется неоднородным, если его свойства различны в разных направлениях, например, его объемная плотность r переменна, и в системе координат 0хyz ее можно представить как функцию трех переменных r(x,y,z). При нагревании такого тела его температура Т изменяется с течением времени и будет различной в разных точках тела. Будем считать ее функцией четырех переменных: координат точки тела x, y, z и времени t. Т=f (x, y, z, t).

Функции многих переменных

Введем понятие области и ее границы.

d-окрестность точки. Рассмотрим некоторую точку М₀(х₀,у₀) плоскости (x0y). Множество точек (x,y), удовлетворяющих неравенству < d (d >0), называют d-окрестностью точки (х₀,у₀).

Говорят, что точка (x₀ , y₀) является внутренней точкой множества D, если она принадлежит этому множеству с некоторой ее d-окрестностью.

Множество, состоящее из одних внутренних точек, называется открытым.

Множество называется связным, если любые его точки можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, целиком принадлежащей этому множеству.

Область. Открытое связное множество называют областью.

Граница области. Точка, не принадлежащая области, называется граничной, если каждая ее окрестность содержит точки, принадлежащие области. Множество всех граничных точек области называют границей области.

Замкнутая область. Объединение области и границы называется замкнутой областью.

Ограниченная область. Область называется ограниченной, если существует круг, внутри которого она содержится.

Компакт. Ограниченная замкнутая область называется компактом.

Пусть в пространстве задана декартова система координат (0xyz) и некоторое множество D точек на плоскости (х0у).

Определение. (Функция двух переменных)

Переменная z называется функцией двух переменных (х,у), если каждой упорядоченной паре чисел (х,у)Î D по определенному закону f ставится в соответствие число z: z= f(x,y).

Множество D называют областью определения (или существования) функции z=f(x,y), а множество Е={z| z= f(x,y), (х,у)Î D } – областью ее значений.

Областью определения D может быть часть плоскости (x0y) или вся плоскость, а областью ее значений Е – некоторый промежуток на оси z.

Рассмотрим множество W = {(x, y, z= f(x,y)| (x,y)ÎD}, где f(x,y) – некоторая функция двух переменных.

Множество W называют графиком функции двух переменных. Как правило, график функции двух переменных геометрически представляет некоторую поверхность (рис. 4.4). Ее проекция на координатную плоскость х0у совпадает с областью определения D.

Примеры.

Найти области определения и области значений заданных функций:

1) z ;

2) z = ,

3) z = y+arcsin(x+2),

4) z = ln(x²+y²–1),

5) z .