Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П3, расположенную перпендикулярно к П1 и П2. Плоскости проекций П1, П2 и П3 являются основными плоскостями проекций.

а) модель б) эпюр

Рисунок 9. Точка в системе трех плоскостей проекций

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 9. Третья плоскость, перпендикулярная и П1, и П2, обозначается буквой П3 и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются прописными буквами латинского алфавита или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают, как показано на рисунке 10, до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.

Рисунок 10. Получение эпюра

Координаты (от лат. со — совместно и ordinatus — упорядоченный, определенный) — числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. В 14 веке Н.Орем пользовался координатами на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называют абсциссой и ординатой. Более систематически координаты стали применяться к вопросам геометрии на плоскости в 17 веке. Заслуга выяснения всего значения метода координат позволяющего систематически переводить задачи геометрии на язык математического анализа и обратно, истолковывать геометрически факты анализа, принадлежат Р. Декарту.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Положение точки относительно плоскостей проекций

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами x,y,z. Точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций.

1. Точка не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций - точка общего положения. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов, как показано на рисунке 11.

а) модель I-IV октантов б) модель V-VIII октантов

в) эпюр

Рисунок 11. Точки общего положения

2. Точка принадлежит плоскости проекций (рис.12).

Точка А принадлежит горизонтальной плоскости проекций (x≠0,y≠0,z=0) - фронтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси y.

Точка B принадлежит фронтальной плоскости проекций (x≠0,y=0,z≠0) - горизонтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси z.

Точка С принадлежит профильной плоскости проекций (x=0,y≠0,z≠0) - горизонтальная проекция точки лежит на оси y, а фронтальная на оси z.

а) модель б) эпюр

Рисунок 12. Точки частного положения

3. Точка принадлежащая одновременно двум плоскостям проекций - точка на оси (рис.12).

Точка D лежит на оси x, принадлежит одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций (x≠0,y=0,z=0).

Точка E лежит на оси y, принадлежит одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций (x=0,y≠0,z=0).

Точка F лежит на оси z, принадлежит одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций (x=0,y=0,z≠0).

4. Точка принадлежит одновременно трем плоскостям проекций - 0(x=0,y=0,z=0) - начало координат.