Задача о максимальном потоке. Алгоритм Форда-Фалкерсона (Ford-Fulkerson) (назначение алгоритма и его пошаговая реализация в общем виде).
Алгоритм форда
Задача нахождения потока заданной величины минимальной стоимости в сети. Алгоритм Басакера-Гоуэна (Basaker r.G., Gowen p.J.) (назначение алгоритма и его пошаговая реализация в общем виде).
Задана сеть, к каждой дуге которой поставлено в соответствие 3 числа: c(x,y) – пропускная способность,f(x,y) – поток, d(x,y) – стоимость. Требуется пропустить в сети допустимый поток заданной величины Vили максимальный поток заданной величины Vминимальной стоимости. S=
ШАГ 0 Решение начинаем с нулевого потока V’=0.
Шаг 1Строим граф модифицированных стоимостей Gfпо следующим правилам:
· Множество вершин графа Gf совпадает с множеством вершин графа G
· Если в графе Gf(x,y)>0, но f(x,y)<c(x,y) то в графе Gfрисуем 2 дуги – прямую l(х,у)=d(x,y), обратную l(х,у)=-d(x,y),
· Если в графе Gf(x,y)=0, то рисуем одну прямую дугу l(x,y)=d(x,y)
· Если f(x,y)=c(x,y) то в графе Gfрисуем одну дугу обратную l(x,y)= -d(x,y),
Шаг 2 Находим в графе Gf минимальный путь из sв tp*. Определяем путь наисходом графе Gсоответствующий пути p*p. На прямых дугах вычисляем, на обратных - , . На прямых дугах пути p величину потока увеличиваем наƐ, на обратных уменьшаем на Ɛ.
Шаг 3 Получаем. Если v’=v, то алгоритм свою работу заканчивает. Следовательно, в сети построен поток заданной мощности минимальной стоимости.
Дискретное программирование. Задача целочисленного линейного программирования Метод Гомори. Метод ветвей и границ.
Дискретное программирование (дискретная оптимизация) — раздел математического программирования.
В противоположность задачам оптимизации с непрерывными переменными, переменные в задачах дискретного программирования принимают только дискретные значения, например, целочисленные.
Задачи комбинаторной оптимизации можно решить с помощью методов дискретного программирования. Одними из основных методов решения задач дискретного программирования являются метод ветвей и границ и динамическое программирование.
Метод ветвей и границ - общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является вариацией полного перебора с отсевом подмножеств допустимых решений, заведомо не содержащих оптимальных решений.
Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума функции на множестве допустимых значений переменной. Функция и переменная могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).
Процедура ветвления состоит в разбиении множества допустимых значений переменной на подобласти (подмножества) меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти (подмножества множества значений переменной).
Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для решения задачи на подобласти допустимых значений переменной.
В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея: если нижняя граница значений функции на подобласти дерева поиска больше, чем верхняя граница на какой-либо ранее просмотренной подобласти, то может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.
Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.