Задача нахождения кратчайших путей между всеми парами узлов в графе. Алгоритм Флойда (Floyd r.W.) (назначение алгоритма и его пошаговая реализация в общем виде).
Алгоритм Флойда — Уоршелла — алгоритм для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного графа без циклов с отрицательными весами с использованием метода динамического программирования. Это базовый алгоритм, так что тем кто его знает — можно дальше не читать.
Сети. Потоки на сетях. Теорема Форда-Фалкерсона (Ford-Fulkerson) (алгоритм построения максимального потока).
Сетью называется связный граф (обычно, не орграф и не мультиграф), в котором заданы “пропускные способности” ребер, т. е. числа qij. Это числа большие или равные нулю, причем qij = 0 тогда и только тогда, когда нет ребра, соединяющего вершины i и j. Таким образом, можно считать, что пропускные способности ребер заданы для любой пары вершин. В дискретной математике пропускные способности ребер, как и все возникающие константы, считаются целыми числами (или рациональными, что одно и то же, так как рациональные числа отличаются от целых только единицами измерения). Заметим, что сети имеют огромные приложения, в частности, “сети планирования” (имеется в виду планирование производства некоторых новых, достаточно сложных изделий), где “пропускные способности” ребер – это время, за которое нужно из нескольких узлов изделия (вершин графа) получить другой (более сложный) узел. Сетевое планирование здесь не исследуется, так как гораздо больший интерес представляет сеть связи, где пропускные способности ребер – это обычно “количество одновременных разговоров”, которые могут происходить между телефонными узлами (вершинами графа).
Потоком в сети между вершиной t (источником) и s (стоком) называется набор чисел сij, (т. е. количество условного “груза”, перевозимого из вершины с номером i в вершину с номером j), удовлетворяющих четырем условиям:
Теорема Форда – Фалкерсона (1955). Максимальный поток между вершинами t и s равен величине минимального сечения между этими вершинами.
Транспортная задача по критерию времени в сетевой постановке
При осуществлении перевозок определяющим показателем могут быть не затраты, а время доставки. Характерными примерами являются чрезвычайные ситуации, перевозка раненых, скоропортящихся продуктов и т. п. В таких задачах главное – как можно быстрее доставить все грузы. Тогда вместо матрицы транспортных затрат дается матрица времени [tij], а критерий выражает время завершения всех перевозок:
где максимум берется по коммуникациям, на которых перевозки больше нуля. Предполагается, что перевозки между всеми пунктами начинаются одновременно и ведутся параллельно. Условия задачи записываются как и в случаях с критерием-затратами. Однако здесь критериальная функция нелинейна, что принципиально отличает эту задачу от ранее рассмотренных. В то же время она легко преобразуется к линейному виду, и решение задачи может быть получено любым универсальным методом линейного программирования. Один приближенный метод рассмотрен в разд. 5.5.▲
Для решения транспортных задач применяют специальные методы, которые учитывают их особенности и поэтому более эффективны, чем универсальные. К ним относятся распределительный метод, метод потенциалов, венгерский метод, метод Глейзала и др. Основными являются методы венгерский и потенциалов. Они применяются для решения задач как типа Т, так и Тd. Ниже рассматривается второй из них.