Кульминация светил

Если светило находится в верхней кульминации, то его часовой угол равен 0⁰. Тогда соотношение (1) :

cos z_.= sinφ _* sin δ + cos φ _* cos δ _* cos t

приобретает вид:

cos z_В.= sinφ _* sin δ + cos φ _* cos δ (10)

Напомню формулу косинуса разности двух углов:

сos(α - β)_. = cos α _* cos β + sin α _* sin β (11)

Сравнивая соотношения (10) и (11), получим:

z_В = φ – δ (12)

П амятуя, что z + h = 90⁰ (см. раздел «Горизонтальные координаты»), получим, что h_В = 90 – φ + δ (13)

Для получения этого соотношения необязательно пользоваться формулами преобразований координат (например, Вы их забыли). Они легко получается из рисунка 7. Здесь представлено сечение небесной сферы плоскостью небесного меридиана. Линия М_В М_Н – соединяет точки верхней (М_В) и нижней (М_Н) кульминаций звезды.

Угол NOP (красная дуга) - это высота полюса мира над горизонтом (h_p). Угол QOM_В (синяя дуга) – это склонение звезды – δ .

Угол SOM_В (розовая дуга) – это h_В – высота звезды в верхней кульминации над горизонтом. Угол NOK равен углу QOS и равен 90⁰- φ . Учитывая это получаем, что h_В = 90 – φ + δ , что мы получили выше (13).

Совершенно аналогично формулу для определения высоты светила в нижней кульминации можно вывести из соотношения (1) подставив значение часового угла в светила в нижней кульминации: t_Н = 180⁰ , тогда соотношение (1) запишется:

cos z_.= sinφ _* sin δ - cos φ _* cos δ, так как (cos 180⁰ = -1).

Поменяв знаки на противоположные обеих частей уравнения, получим соотношение:

- cos z_.= cos φ _* cos δ - sinφ _* sin δ

Сравним это выражение с формулой из школьного курса тригонометрии для определения косинуса суммы двух углов:

- cos (α + β) = cos α _* cos β - sin α _* sin β

Сравнивая эти два выражения и учитывая, что:

- cos (α + β) = cos{-(α + β)}, получим что - z = φ + δ.

Зная, что z = 90⁰- h, получим формулу для определения высоты светила в нижней кульминации:

h_Н = φ + δ - 90⁰ (14)

Для получения этого соотношения необязательно пользоваться формулами преобразований координат. Оно легко получается из рисунка 8.

Угол NOP (красная дуга) - это высота полюса мира над горизонтом, равная географической широте мест наблюдателя (h_p= φ);

Угол КOM_Н (синяя дуга) – это склонение звезды – δ ;

Угол NOM_Н (розовая дуга) – это h_Н – высота звезды над горизонтом в нижней кульминации. Из рисунка следует, что 90⁰ - φ - δ = - h_{Н .} (Согласно рисунка эта звезда в нижней кульминации опускается ниже горизонта, т.е. её высота отрицательна). Умножая обе части (полученного из рисунка соотношения на минус единицу получаем h_Н = φ + δ - 90⁰ , как мы вывели выше из формул преобразования координат (см. 14) В условии задачи сказано, что склонение нашей звезды δ = 15⁰ 50'. Таким образом, опираясь на соотношения (13) и (14) , находим, что:

h_В = 47⁰ 14' , h_Н = - 15⁰ 34'

Таким образом, правильные и полные ответы на данную задачу будут:

t_В = 242,29⁰ = 242⁰ 17' = 16,153^h = 16^h 9^m

t_З = 117,71⁰ = 117⁰ 43' = 7,847^h = 7 ^h 51 ^m

А_В = 238,4⁰ = 238⁰ 24'

А_З = 121,68⁰ = 121⁰ 41^'

h_В = 47⁰ 14'

h_Н = - 15⁰ 34'