Частные случаи преобразований

1. Восход или заход светила.

В этом случае светило находится в плоскости математического горизонта в восточной или западной частях небосвода. Следовательно, зенитное расстояние светила z = 90⁰ , а его высота над горизонтом h = 0⁰. Подставляя в соотношения 1, 2, и 3 значение z = 90⁰ после несложных преобразований получим:

cos t = - tg φ _* tg δ (7)

sin А = cos δ _* sin t (8)

cos А = sin φ _* cos δ _* cos t - cos φ _* sin δ (9)

Первая пробная задача:

Определить часовые углы, азимуты точек восхода и захода, высоты в верхней и нижней кульминациях звезды, склонение которой δ = 15⁰ 50'. Дело происходит в Кирове. Широта Кирова φ_к = 58⁰ 36' . Рисунок с примерным соблюдением величин углов обязателен.

1. Прежде чем приступать к решению задачи необходимо проверить данную звезду на невосходимость и на незаходимость. Напомню, что звезда не заходит на данной широте φ, если её склонение δ ≥ 90⁰ - φ .

Звезда не восходит, если её склонение δ ≤ - ( 90⁰ – φ). Для таких звёзд есть смысл определять только высоты в верхней и нижней кульминациях.

1. При проведении всех расчетов нет необходимости учитывать все значащие цифры. Условимся, что все величины (в том числе и промежуточные) будем считать с точностью до трех знаков после запятой, пользуясь принятыми правилами округления чисел.

Подставляя данные задачи в (7), найдём, что t₁ = 117,71⁰ . Существует второе значение часового угла, которое удовлетворяет нашему решению t₂ = 242,29⁰. Смысл полученных двух ответов прост. Один из ответов соответствует восходу светила, другой – заходу.

(При отрицательных значениях полученных углов рекомендуется переводить их значения в диапазон 0⁰ – 360⁰ . Исключение составляют только две величины: географическая широта φ и склонение δ. Они обе могут принимать значения от + 90⁰ до - 90⁰).

Часовые углы измеряются от небесного меридиана в сторону суточных движений светил (см. рис. 3). Тогда ясно, что в западной части небосвода они могут принимать значения от 0⁰ до 180⁰ , а в восточной - от 180⁰ до 360⁰ . Значит часовой угол захода данного светила в Кирове будет равен t_З = 117,71⁰ = 7^h 51^m , а часовой угол восхода - t_В = 242,29⁰ = 16 ^h 9 ^m .

Типичные ошибки:

1. Неправильное введение значений углов в калькулятор. При введении значения (например) φ_{к =} 58⁰ 36' иногда в калькулятор вводится число 58,36. Это неправильно. Значения углов необходимо вводить в углах и их долях. Для этого минуты угла нужно перевести в доли градуса, для чего количество минут нужно разделить на 60. В данном случае 36' = (36 : 60) = 0,6⁰ . Таким образом в калькулятор нужно вводить число 58,6 . Совершенное аналогично при введении значения склонения звезды δ = 15⁰ 50' в калькулятор вводится число не 15,50, а 15,833.

2. Часто неправильно переводят угловые единицы во временные. Для перехода от угловых единиц измерения угла к временным необходимо значение угла в градусах и их долях разделить на 15 (1^h = 15⁰). Получим ответ в часах и их долях. Если доли часа умножить на 60 , переведём доли часа в минуты и их доли.

Например, в нашем случае:

t_В = 242,29⁰ = (242,29⁰ : 15)^h =16,153^h =16 ^h+(0,153×60) ^m = 16^h 9^m

t_З = 117,71⁰ = (117.71⁰ : 15)^h = 7,847^h =7 ^h+(0,847×60) ^m =7 ^h51 ^m

3. Иногда требуется перевести значения углов, выраженных в градусах и их долях, в градусы и минуты угла. Например, решая данную задачу, получили, что t_В = 242,29⁰. Для того, чтобы данное значение перевести в градусы и минуты угла нужно его дробную часть умножить на 60 .

Так получим что t_В = 242,29⁰ = 242⁰ + (0,29× 60)^' = 242⁰ 17^'

t_З = 117,71⁰ =117⁰ + (0,71× 60)^' =117⁰ 43'

Таким образом, ваш правильный и полный ответ на данную часть задачи будет:

t_В = 242,29⁰ = 242⁰ 17' = 16,153^h = 16^h 9^m

t_З = 117,71⁰ = 117⁰ 43' = 7,847^h = 7 ^h51 ^m

Для решения второй части данной задачи – определения азимутов точек восхода и захода необходимо воспользоваться соотношениями (8) и (9):

sin А = sin А = cos δ _* sin t (8)

cos А = sin φ _* cos δ _* cos t - cos φ _* sin δ (9)

Определим, например, азимут точки захода светила. Для этого в соотношение (8) подставим значения δ = 15,833⁰ и t_З = 117,71⁰ .

sin А_З = cos 15,833⁰ _* sin 117,71⁰ = 0,962 _* 0,885 = 0,851 .

Отсюда А' = 58,32⁰ ; А" = (180⁰ - А') = 121,68⁰

(Синус имеет одинаковые значения в двух четвертях).

Для того чтобы определить нужное нам значение азимута, воспользуемся соотношением (9):

cos А_З = sin 58,6⁰ _* cos 15,833⁰ _* cos 117,71⁰ - cos 58,6⁰ _* sin 15,833⁰

cos А_З = 0,854 _* 0,962 _* (- 0,465) - 0,521 _* 0,273 = - 0,524 (10)

Отсюда А' = 121,6⁰ ; А" = (360⁰ - А') = 238,4⁰

( Косинус имеет одинаковые значения в двух четвертях).

Как видно, одно из полученных значений А' = 121,6⁰ почти совпадает найденным ранее через соотношение (8) значением А" = 121,68⁰. Некоторое их неравенство объясняется округлениями промежуточных значений. При точных расчетах они бы совпадали. Это значение и будет ответом. Таким образом, азимут захода этой звезды будет равен:

А_З = 121,68⁰ = 121⁰ 41^' (Азимуты измеряются только в угловых величинах).

Примечание: Для выбора из двух значений азимута, полученных с помощью соотношения (8) совершенно не обязательно полностью решать уравнение (9). Достаточно определить из него знак косинуса. Это подскажет четверть. В нашем случае косинус отрицателен. Значит, угол должен лежать только или второй, или в четвёртой четвертях. Поэтому из найденных ранее двух значений: А' = 58,32⁰ и А" = 121,68⁰ выбираем последнее выбираем то, которое лежит во второй четверти, т.е. А_З = 121,68⁰.

Более тог, часто вообще не нужно проводить расчеты в уравнении (9).

Посмотрите уравнение (10). И первое, и второе слагаемые отрицательны. Значит cos А_З . Этого достаточно, чтобы выбрать нужное значение А_З .

Азимут восхода рассчитывается аналогично. Рассчитайте его самостоятельно. Вы должны получить, что А_В = 238,4⁰ = 238⁰ 24' . В конце решения перепишите аккуратно ответы столбиком. Это ускорит и облегчит проверку:

t_В = 242,29⁰ = 242⁰ 17' = 16,153^h = 16^h 9^m

t_З = 117,71⁰ = 117⁰ 43' = 7,847^h = 7 ^h51 ^m

А_В = 238,4⁰ = 238⁰ 24'

А_З = 121,68⁰ = 121⁰ 41^'

Если Вы считаете, что проделанных вычислений и конспекта методички в Вашей тетради достаточно для решения контрольной задачи, можно получить контрольное задание у преподавателя. На его выполнение будет дан 1 час времени.

Но я бы посоветовал выбрать самим значения склонения звезды, географической широты и решить пробную задачу, тем более, что имеющаяся у преподавателя программа позволит быстро проверить не только окончательный результат, но результаты всех промежуточных расчетов.