Содержание отчета

1. Текст задания.

2. Сеть, отображающая производство продукции и движение запасов.

3. Уравнения состояния для i-того месяца.

4. Показатель эффективности управления на i-том шаге.

5. Суммарный показатель эффективности системы - целевая функция.

6. Основное функциональное уравнение системы.

7. Для каждого этапа, начиная с последнего, привести:

• условный оптимальный показатель эффективности

• балансовое уравнение

• таблицу расчетов.

8. Результаты решения задачи.

Контрольные вопросы

1. Сформулировать общую постановку задачи динамического программирования.

2. Алгоритм построения модели динамического программирования

3. Сформулировать принцип оптимальности Беллмана.

4. Запишите основное функциональное уравнение динамического программирования.

Лабораторная работа № 14 Имитационное моделирование системы массового обслуживания (смо)

Задание: в соответствии с заданным вариантом провести моделирование системы массового обслуживания на имитационной модели и сравнить результаты моделирования и с результатами аналитических расчётов.

Варианты заданий

1. Автоматическая мойка для автомобилей имеет только один моечный бокс. Автомобили прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средним 4 машины в час и могут ожидать обслуживания на стоянке рядом с автомойкой. Время мойки автомобиля является экспоненциально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 10 минут. Автомобили, которые не помешаются на стоянке, могут ожидать на прилегающей к автомойке улице. Это значит, что практически нет ограничений на емкость системы обслуживания. Хозяин автомойки хочет определить количество мест на стоянке для автомобилей, при котором по меньшей мере 90% прибывших автомобилей найдет место на стоянке.

2. Автоматическая мойка для автомобилей имеет только один моечный бокс. Автомобили прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средним 4 машины в час и могут ожидать обслуживания на стоянке рядом с автомойкой. Время мойки автомобиля является экспоненциально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 10 минут. Автомобили, которые не помешаются на стоянке, могут ожидать на прилегающей к автомойке улице. Это значит, что практически нет ограничений на емкость системы обслуживания. Выполните следующее:

a) Определите процент использования автомойки.

b) Определите вероятность того, что прибывающий автомобиль должен ожидать на стоянке, прежде чем попасть в моечный бокс.

c) Определите вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место на стоянке при условии, что там имеется семь мест.

3. Джон является студентом университета. Он выполняет случайные работы для улучшения своего материального положения. Интервал времени между последовательными поступлениями заявок на работу является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением пять дней. Время, необходимое для выполнения работы, также является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением четыре дня.

a) Какова вероятность того, что Джон будет без работы?

b) Если за каждую работу Джон получает примерно 50 долларов, то каков его среднемесячный заработок?

c) Если в конце семестра Джон решает передоверить невыполненные работы другому лицу по 40 долларов за каждую работу, то каково среднее значение суммы, которую должен уплатить Джон?

4. На протяжении многих лет детектив Коломбо из отделения полиции города Фейетвилл демонстрирует феноменальный успех в расследовании каждого криминального дела, за которое он берется. Для него раскрытие любого криминального дела — это всего лишь вопрос времени. Коломбо соглашается, что время раскрытия каждого отдельного случая является "совершенно случайным", но в среднем каждое расследование занимает около полтора недель. Криминальные дела в мирном городке, где работает Коломбо, явление не очень частое. Они происходят случайным образом с интенсивностью одно преступление в месяц. Проанализируйте "производительность" работы детектива Коломбо; в частности, найдите следующие показатели.

a) Среднее число случаев, которые ожидают расследования.

b) Процент времени, когда детектив занят расследованиями.

c) Среднее время, необходимое для раскрытия преступления.

5. Автомобили прибывают к пропускному пункту туннеля Линкольна, где взимается плата за проезд, в соответствии с распределением Пуассона со средним 90 единиц в час. Время прохождения пропускного пункта автомобилями является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним 38 секунд. Водители жалуются на долгое время ожидания, и власти планируют сократить среднее время прохождения пропускного пункта до 30 секунд путем установки автоматического устройства для взимания транспортной пошлины, если только выполняются два условия: 1) среднее количество ожидающих автомобилей превышает 5 единиц при существующей системе взимания пошлины и 2) процент времени простоя нового устройства, установленного на пропускном пункте, не будет превышать 10%. Может ли быть оправдана установка нового устройства?

6. Ресторан быстрого питания имеет один пункт обслуживания, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины. Машины прибывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 2 клиента за каждые 5 минут. Возле пункта обслуживания может расположиться не больше 10 автомашин, включая ту, которую обслуживают. Другие автомашины при необходимости могут ожидать обслуживания за пределами этого пространства. Время обслуживания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1.5 минуты. Определите следующие показатели.

a) Вероятность того, что пункт обслуживания свободен.

b) Среднее число клиентов, ожидающих обслуживания.

c) Среднее время ожидания клиента до того момента, когда он делает заказ.

d) Вероятность того, что очередь превысит десятиместное пространство перед пунктом обслуживания.

7. Банк располагает одним пунктом обслуживания, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины. Клиенты прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 10 клиентов в час. Время обслуживания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 5 минут. Напротив пункта обслуживания имеется место для трех автомобилей, вклю­чая и тот, что обслуживается. Другие прибывающие автомашины выстраиваются в очередь вне этого пространства.

a) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль может занять одно из трех мест возле пункта обслуживания?

b) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль будет ожидать обслу­живания вне зоны для трех автомобилей?

c) Каково среднее время ожидания прибывающего клиента до того момента, когда его начнут обслуживать?

d) Сколько мест для автомобилей должно быть возле обслуживающего пункта обслуживания, чтобы прибывающий клиент мог найти там место по крайней мере в 20% сълучаев?

10. Парикмахерская в любой момент времени может обслужить только одного клиента. Имеется также три места для ожидающих клиентов. Это значит, что в парикмахерской одновременно не могут находиться более четырех человек. Клиенты приходят в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 4 человека в час. Время обслуживания является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 15 минут. Определите следующие величины.

a) Вероятности установившегося режима.

b) Ожидаемое число клиентов в парикмахерской.

c) Вероятность того, что клиент уйдет в поисках другой парикмахерской, поскольку все места заняты.

8. Ресторан быстрого питания имеет один пункт обслуживания, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины. Машины прибывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 2 клиента за каждые 5 минут. Возле пункта обслуживания может расположиться не больше 10 автомашин, включая ту, которую обслуживают. Другие автомашины при необходимости могут ожидать обслуживания за пределами этого пространства. Время обслуживания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1.5 минуты. Определите следующие показатели.

a) Вероятность того, что пункт обслуживания свободен.

b) Среднее число клиентов, ожидающих обслуживания.

Для привлечения большего числа посетителей администрация ресторана решила предлагать бесплатно порцию прохладительного напитка каждому клиенту, который вынужден ожидать более 5 минут. Если стоимость порции прохладительного напитка равняется 50 центам, то в какую сумму в среднем обойдется ресторану ежедневное угощение прохладительными напитками? Предполагается, что ресторан открыт для клиентов 12 часов в сутки.

9. Автостоянка для посетителей колледжа имеет всего пять мест. Автомобили прибывают на стоянку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью шесть автомобилей в час. Время пребывания автомобилей на стоянке является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним 30 минут.

Посетители, которые не могут найти свободного места на стоянке непосредственно по прибытии, могут временно ожидать освобождения места на территории стоянки. Таких мест для ожидания на стоянке имеется три. Если и стоянка, и все места для ожидания заполнены, то прибывшие автомобили вынуждены искать другую автостоянку. Требуется определить следующее:

a) вероятность р„ того, что в системе находится п автомобилей,

b) эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку,

c) среднее количество автомобилей на стоянке,

d) среднее время нахождения автомобиля в очереди на территории стоянки,

e) среднее количество занятых мест на автостоянке.

11. В бильярдный клуб для игры в бильярд посетители обычно приходят парами. Нормальная интенсивность прихода клиентов равна шести парам в час. Однако если число пар в бильярдном клубе превышает восемь, интенсивность поступления клиентов уменьшается до 5 пар в час. Предполагается, что входной поток подчиняется распределению Пуассона. Время игры каждой пары является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 30 минут. Бильярдный клуб имеет в своем распоряжении 5 бильярдных столов и одновременно может расположить не более 12 пар. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что клиенты начнут отказываться от сервиса.

b) Вероятность того, что все бильярдные столы заняты.

c) Среднее количество используемых бильярдных столов.

d) Среднее число пар, ожидающих освобождения бильярдного стола.

12. Посетители прибывают в банк в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 45 клиентов в час. Длительность деловых операций с одним клиентом имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием примерно пять минут. Банк планирует использовать одноканальный многокассовый режим работы, подобный тем, которые применяются в аэропортах и почтовых отделениях.¹ Управляющий отдает себе отчет в том, что клиенты moot обратиться в дру­гие банки, если они чувствуют, что их ожидание в очереди является "чрезмерным", По этой причине управляющий хочет уменьшить среднее время ожидания в очереди до 30 секунд, не более. Сколько кассиров должен иметь банк?

14. Небольшое почтовое отделение имеет два обслуживающих окна. Клиенты прибывают на почтовое отделение в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 1 клиент в каждые три минуты. Однако лишь 80% из них нуждаются в обслуживании возле окон. Время обслуживания клиента подчиняется экспоненциальному закону со средним значением 5 минут. Все прибывающие клиенты образуют одну очередь и подходят к свободному окну в соответствии с дисциплиной "первым пришел — первым обслуживаешься".

a) Какова вероятность того, что очередной клиент будет ожидать в очереди?

b) Какова вероятность того, что оба обслуживающих окна свободны?

c) Какова средняя длина очереди?

d) Можно ли предложить приемлемое обслуживание лишь с одним окном? Приведите аргументы.

15. Вычислительный центр университета состоит из четырех одинаковых больших ЭВМ коллективного пользования. Число работающих в центре пользователей в любой момент времени равно 25. Каждый пользователь готовит свою программу для ее машинной реализации через терминал, куда она сразу же передается. Время подготовки программ имеет экспоненциальное распределение со средним значением 15 минут. Поступающие программы автоматически размещаются для реализации на первую свободную ЭВМ. Время выполнения программы имеет экспоненциальное распределение со средним значением 2 минуты. Вычислите следующие показатели.

a) Вероятность того, что программа не будет выполнена сразу же, как только она поступила на терминал.

b) Среднее время до получения пользователем результатов машинной реализации программы.

c) Среднее количество программ, ожидающих машинной реализации.

d) Процент времени, когда все ЭВМ вычислительного центра свободны.

e) Среднее количество свободных ЭВМ.

16. Аэропорт обслуживает пассажиров трех категорий: городских жителей, жителей пригородов и транзитных пассажиров. Прибытие в аэропорт пассажиров всех трех категорий во времени происходит в соответствии с распределением Пуассона со средней интенсивностью 15, 10 и 7 пассажиров в час соответственно. Время регистрации пассажиров подчиняется экспоненциальному распределению с математическим ожиданием 6 минут. Определите количество стоек для регистрации пассажиров, которыми должен располагать аэропорт в каждом из следующих случаев.

a) Среднее время пребывания пассажира в режиме ожидания и регистрации не должно превышать 15 минут.

b) Процент свободных регистрационных стоек не превышает 10%.

c) Вероятность того, что все регистрационные стойки свободны, не превышает 0.17.

17. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 минут. Определите следующие величины.

a) Процент автомобилей, которые будут искать другую заправку.

b) Процент времени, когда используется только один из насосов.

c) Процент времени использования двух насосов.

d) Вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди.

е) Емкость очереди, которая обеспечит потерю в среднем не более 10% потенциальных клиентов.

f} Емкость очереди, при которой вероятность того, что оба насоса свободны, не превышает 0.05.

18. Небольшая ремонтная мастерская имеет трех механиков. В начале марта каждого года клиенты приносят в мастерскую свои культиваторы и газонокосилки для ремонта и технического обслуживания. Мастерская стремится принять все, что приносят клиенты. Однако когда очередной клиент видит на полу мастерской массу механизмов, ожидающих обслуживания, он уходит в другое место в поисках более быстрого обслуживания. На полу мастерской размещается не более 15 культиваторов или газонокосилок, не учитывая тех, которые уже ремонтируются. Клиенты прибывают в мастерскую в среднем каждые 10 минут, а на выполнение механиком одного ремонта уходит в среднем 30 минут. Как время между последовательными приходами клиентов, так и время выполнения работы подчиняются экспоненциальному распределению. Определите следующие величины:

a) Среднее число незанятых механиков.

b) Число потерянных потенциальных клиентов на протяжении десятичасового рабочего дня по причине ограниченной емкости мастерской.

c) Вероятность того, что следующий клиент будет обслужен в мастерской.

d) Вероятность того, что по крайней мере один механик будет свободен.

e) Среднее количество культиваторов и газонокосилок, которые ожидают обслуживания.

f) Показатель общей производительности мастерской.

19. Ресторан быстрого питания имеет три кассира. Посетители прибывают в ресторан в соответствии с распределением Пуассона каждые три минуты и образуют одну очередь, чтобы быть обслуженным первым освободившимся кассиром. Время до момента размещения заказа экспоненциально распределено со средним, равным примерно пяти минутам. Вместимость зала ожидания внутри ресторана ограниче­на. Однако ресторан имеет хорошую кухню и при необходимости посетители го­товы выстраиваться в очередь и вне ресторана. Определите размер зала ожидания внутри ресторана, кроме мест возле касс, таким образом, чтобы с вероятностью не менее 0.999 следующий посетитель не ожидал обслуживания вне ресторана.

20. Студенты первого курса одного из американских университетов приезжают на лекции на своих автомобилях (даже, несмотря на то, что большинство из них нуждаются в проживании на территории университета и могут пользоваться удобной университетской бесплатной транспортной системой). На протяжении первых двух недель осеннего семестра на университетской территории преобладает беспорядок в транспортном движении, так как первокурсники отчаянно пытаются найти места для стоянки автомашин. С необычной самоотверженностью студенты терпеливо ожидают на пешеходных дорожках возле стоянок для автомашин, когда кто-нибудь заберет свою автомашину, чтобы можно было поставить на стоянку свои авто. Рассмотрим следующий характерный сценарий. Автостоянка имеет 30 мест, но может также расположить еще 10 автомашин на пешеходных дорожках. Эти 10 автомашин не могут постоянно оставаться на пешеходных дорожках и должны ожидать, пока хоть одно место на стоянке освободится. Первокурсники прибывают к автостоянке в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 20 автомашин в час. Время пребывания автомашины на стоянке подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением примерно 60 минут.

а) Каков процент первокурсников, вынужденных повернуть обратно по той причине, что они не смогли поставить автомашину на стоянку?

b) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль будет ожидать на пешеходной дорожке?

c) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль займет единственное оставшееся место на стоянке?

d) Определите среднее количество занятых мест на стоянке.

e) Определите среднее количество занятых мест на пешеходных дорожках.

f) Определите среднее число первокурсников, которые не попадут на лекции на протяжении восьмичасового периода, так как стоянка будет полностью заполнена.