Глава 37. Логика, математика, физика и биология в хх веке

1. Развитие логики и математики в хх веке

1.1. Поиск оснований и открытие антиномий теории множеств

Программа концептуальной ригоризации основных математических понятий, как мы уже знаем, наметилась еще в прошлом веке. Вейерштрасс и его школа подготовили так называемую «арифметизацию» анализа, т. е. редукцию математики как теории «действительных чисел» к арифметическим понятиям математики как теории целых позитивных (натуральных и рациональных) чисел. Еще раньше геометрия была приведена к анализу (посредством операций аналитической геометрии), а арифметика стала «естественной базой» всего здания математики. Редукцию математики к арифметике завершил Пеано в 1899 г. Система Пеано состояла из пяти аксиом, составленных с помощью примитивных терминов: число, ноль, непосредственно выводимый.

Аксиомы таковы: 1) ноль — это число; 2) из числа непосредственно следует число; 3) ноль непосредственно не следует ни из какого числа; 4) из различных чисел следуют разные непосредственно выводимые числа; 5) любое свойство, которым обладает ноль, принадлежит всем числам, если из его справедливости для одного числа следует справедливость этого свойства для числа, непосредственно следующего за ним (это принцип математической индукции).

Одновременно с Пеано Фреге и Кантор попытались редуцировать арифметику и понятие натурального числа к логическому понятию класса, тем более что логика классов кажется более адекватной для поиска оснований математики. Как можно дать определение числа в терминах класса, показывает следующий пример. Даны два класса А и В, и каждому элементу класса А соответствует элемент класса В, и наоборот. Это значит, что оба класса имеют равную мощность, или кардинальное число. Используя чисто механические операции,

646 Развитие наук в XX веке

2. Развитие физики в XX веке

2.1. Общие вопросы

Развитие физики в XIX веке закончилось крахом механистической программы исследования. Нынешняя физика, отказавшаяся от линейных моделей, характеризуется фундаментальным программным дуализмом. Первая программа возникла в первые десятилетия нашего столетия — релятивистская программа Эйнштейна. А в конце прошлого века с открытием явления радиации возникли квантовая теория и соответствующая исследовательская программа. Эти программы хотя и пересекаются, все же относятся к разным уровням наблюдения. Обе отталкиваются от классической физики в вопросе рассмотрения физических величин в пределах нашего повседневного опыта. Только квантовая теория необходима для изучения феноменов на микроскопическом уровне (атомы, ядерные и субъядерные феномены), а теорию относительности интересуют астрономические скорости и расстояния. Два этих направления

650 Развитие наук в XX веке

поначалу развивались независимо друг от друга. Исследование ядра и его составляющих продвигалось вместе с квантовой теорией.

2.2. Эйнштейн и теория относительности

На рубеже двух веков предпринята не одна попытка преодолеть разрыв теорий Максвелла и Ньютона. Последняя принадлежит А. Пуанкаре на основе классического принципа относительности Лоренца. Идея эфира в ней сохранена, как и законы движущихся относительно друг друга прямолинейным и равномерным образом систем. Работы Лоренца и Максвелла появились в конце XIX— начале XX веков.

Однако в 1905 г. А. Эйнштейн (1879—1955) опубликовал историческую статью «К электродинамике движущихся сред», где были сформулированы принципы частной теории относительности. «Явления в электродинамике, — писал он, — так же, как и в механике, не обладают свойствами, относящимися к идее абсолютного покоя... законы электродинамики и оптики распространяются на все системы отсчета, включая механические». Эйнштейн предложил в качестве постулата другой тезис, согласно которому «свет распространяется в пустом пространстве с определенной скоростью, которая не зависит от движения испускающего свет тела». Первый постулат элиминирует эфир, второй видимым образом ему противоречит. Однако Эйнштейн переосмысливает традиционные понятия пространства и времени. Контраст с привычным опытом демонстрируют следующие теоремы:

— длина тела, находящегося в движении, больше длины покоящегося тела;

— два одновременных по отношению к наблюдателю явления могут быть неодновременными один по отношению к другому;

— длина стержня связана с направлением его движения: масса тела увеличивается с увеличением скорости.

Наконец, знаменитая формула E = mс² связала массу с энергией. Все эти выводы были подкреплены множеством экспериментов. Переход от классической механики к частной теории относительности был назван Куном научной революцией, ибо произошла глобальная смена основания теории. Только через одиннадцать лет Эйнштейн предложил более обобщенную, чем прежняя, теорию. Законы физики не меняются в любой системе отсчета, даже в системе, движущейся с ускорением, если учитываются гравитационные эффекты, — такова суть общей теории относительности. Эйнштейн констатирует, что масса тела остается постоянной, если она

Эйнштейн; Планк 651

измерена согласно общему закону гравитации (второму закону динамики: инерционная масса равна гравитационной массе).

Отсюда следует возможность соотнесения любого эффекта ускорения с соответствующими гравитационными полями, что меняет геометрическую структуру пространства. Получается, что любая физическая проблема решается, в конечном счете, через изучение геометрических свойств пространства. Общая теория относительности включает в себя как элемент частную теорию относительности, сохраняя все ее выводы и присоединяя к ним новые, вытекающие из новых экспериментальных данных. Среди последних — точные траектории движения планет, искривление светового луча в гравитационном поле и смещение спектральных линий в зоне света, испускаемого звездами большой массы. Так был открыт путь развития «нормальной» науки со все более мощной разработкой математического аппарата, с одной стороны, и, с другой — с проверкой теоретических конструкций экспериментальными данными, что всегда давало позитивный результат. Из новейших экспериментов на эту тему наиболее интересными представляются те, что связаны с изучением гравитационных волн космического происхождения.