2.3. Полиномиальный тренд

Часто понимают тренд как долговременное изменение, противопоставляя его циклическим изменениям, коротким по времени. Такой тренд можно достаточно хорошо представить отрезком ряда Тейлора; следовательно, во многих практических случаях он может быть приближен полиномом. Полиномиальный тренд есть в первую очередь средство описания. Он содержит в сжатой форме общие характеристики ряда. Для приближения тренда полином должен иметь достаточно низкую степень ( 4). Во многих случаях коэффициентам полинома нельзя придать никакого реального смысла. Такой полином служит заменой гораздо более сложной (но неизвестной) функции времени и может быть использован для интерполяции.

В случае полиномиального тренда в выражении (2) в качестве функций ф_i(t) используются степени времени, то есть ф_i(t) = tⁱ, (i=1,...,k). Исходная модель временного ряда имеет вид:

уt = а0 + аiti + et,     (t=1,...,T),     (i=1,k)

(4)

т.е. в матрице X_k элементами столбцов являются значения времени в соответствующей степени:

xti = ti,     (t=1,...,T; i=0,...,k),

(5)

где k - порядок полинома.

1. Оценка коэффициентов полиномиального тренда.

Для полинома известного порядка k несмещенная оценка вектора коэффициентов может быть получена методом наименьших квадратов в виде:

= (XkT * Xk)-1XkTY,     M( ) = a.

(6)

В общем случае, вместо обобщенной обратной матрицы (X_k^T * X_k)^-1X_k^T лучше использовать матрицу X_k⁺, псевдообратную к X_k [1], и вычислять оценку вектора коэффициентов тренда по формуле:

= Xk+Y,

(7)

где k-порядок полинома.

2. Оценка значений тренда может быть получена в виде:

   = Xk* .

   (8)

3. Случайная составляющая или шум определяется как разница между значениями исходного временного ряда и полученными оценками значений тренда:

E = Y - .

(9)

2.4. Определение степени полиномиального тренда

Часто исследователь не знает заранее, какой порядок полинома следует использовать для вычисления тренда. Тогда возникает задача выбора подходящей степени полинома среди некоторого множества возможных степеней. При этом определенные преимущества имеет выбор полинома более низкого порядка. График его более гладкий, проще допускаемое толкование, более экономична запись функции. Однако, если наблюдаемый временной ряд плохо описывается полиномом низкой степени, приходится использовать полином более высокой степени. Недостатком выбора полинома слишком низкой степени является наличие смещения при оценивании тренда, а недостатком выбора слишком высокой степени-большая вариабельность при оценивании тренда. Будем использовать для приближения тренда полиномами порядка 1,2 и т.д рекуррентную процедуру, определяя момент остановки рекуррентного процесса с помощью различных статистических критериев. Алгоритм вычесления псевдообратной матрицы

Псевдообращение

Псевдообратной к матрице А называется матрица

Удовлетворяющая следующим условиям, называемым условиями Мура-Пенроуза:

Для вычисления псевдообратной матрицы лучше всего воспользоваться сингулярным разложением исходной матрицы А, т.е. представлением ее в виде:

Где   U и V унитарные матрицы соответственно правых и левых сингулярных векторов, а  - диагональная матрица сингулярных чисел. В этом случае матрица , псевдообратная к А, может быть получена в виде:

Для построения сингулярного разложения А можно воспользоваться функцией Mathcad’а svd в варианте, обеспечивающем вычисление и сингулярных чисел и сингулярных векторов.

Однако, в некоторых случаях, удобнее воспользоваться процедурой рекуррентного вычисления псевдообратной матрицы  с использованием следующего алгоритма:

 

Введем следующие обозначения:

 A- исходная матрица;

 a_i- i-тый столбец матрицы ;

 A_k-  матрица, состоящая из первых k  столбцов матрицы A;

A_k⁺- матрица, псевдообратная к A_k;

 a_i⁺-  i-тая строка матрицы Ak+;

выберем первый столбец матрицы А (a₁). Соответствующая ему первая строка псевдообратной матрицы может быть вычислена в виде:

 

Обозначим столбец a₁ матрицей A₁, а строку a_i⁺ матрицей A₁⁺.

Затем рекуррентно, начиная с k=1, выполним: