Л/р №9. "Выделение полиномиального тренда"

1. Цель работы

Анализ временных рядов находит широкое применение в различных областях науки и техники. В общем случае временной ряд часто содержит детерминированную и случайную составляющие. В так называемых моделях ошибок наблюдаемые временные ряды интерпретируются как сумма систематических составляющих или тренда и случайных составляющих или ошибки. Выделение тренда - одна из наиболее общих задач обработки временных рядов.

Целью данной лабораторной работы является освоение методики выделения тренда с использованием полиномов. Будем полагать, что подлежащий изучению тренд с течением времени гладко возрастает или убывает, но не повторяется регулярным образом.

2. Основные теоретические положения

2.1. Анализ временных рядов

Временным рядом называют последовательность наблюдений, упорядоченную во времени [2, 10]. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. Таковыми, например, являются метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. п. Все они изменяются во времени. На основании ограниченного количества информации о временном ряде конечной длины, мы хотим сделать выводы о вероятностном механизме, порождающим этот ряд, проанализировать его структуру.

В общем случае временной ряд имеет следующий вид:

y_t = f(x_t) + e_t,     t = 1,2,...,

где y_t - значения временного ряда; f(x_t) - детерминированная составляющая; x_t - значения детерминированных факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент времени t; e_t - случайная составляющая, для которой М[e_t]= 0; Т - длина ряда. Отметим, что эти компоненты наблюдаемого ряда ненаблюдаемы, они являются теоретическими величинами.

В экономике роль детерминированной или систематической составляющей играет, например, результирующий показатель, представляющий собой объем производства, обусловленный общей тенденцией экономического роста, научно-техническим прогрессом и затратами экономических ресурсов. На этот результат кроме экономических факторов могут оказывать долговременное влияние некоторые природные факторы, поддающиеся предсказанию. Случайная же составляющая аккумулирует влияние множества не включенных в детерминированную составляющую факторов, каждый из которых в отдельности оказывает незначительное воздействие на результат.

Основная задача анализа временных рядов состоит в выделении на основе знания отрезка временного ряда {y_t, t = 1,...,T} детерминированной и случайной составляющих, а также в оценке их характеристик. Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, можно решать задачи прогноза будущих значений, как самого временного ряда, так и его составляющих.

2.2. Трендовые модели

Под трендом в узком смысле понимается детерминированная составляющая, зависящая только от времени. Тогда временной ряд представляется следующей теоретико-вероятностной схемой:

уt = f(t) + et,     t = 1,2,...T,

(1)

где f(t) - тренд; e_t - случайные составляющие.

Будем полагать, что тренд может быть представлен в виде линейной комбинации

f(t) = a0+ фi(t),     (t=1,...,T),     (i=1,k),

(2)

где ф_i(t) - известные функции времени, а случайные составляющие e_t некоррелированы и имеют нулевые математические ожидания М[e_t] = 0 и одинаковые дисперсии (D[e_t] = const = σ²).

Обозначив ф_i(t) через х_ti , представим наблюденный временной ряд в виде множественной регрессии, линейной относительно параметров:

yt = a0+ + et,   (t=1,...,T),    (i=1,k),

(3)

или, в матричной форме:

Y = X_ka + e,

где

, .