Глава 5

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями

Важный класс физических явлений (в гидро- и газодинамике, теории плазмы, теории взрыва, теории деторации) представляет собой распространение в пространстве скачков определягцих соответствующие процессы величин (давления, температуры, плотности, концентрации).

Математически такие явления описываются решениями (функциями), получившими название “бегущая волна”.

Решения типа бегущих волн — решения, для которых распределение характеристик движения в разные моменты времени получаются одно из другого сдвигом, по координатным осям (рис. ??), а не преобразованием, подобия, как в случае автомодельного решения. Из данного определения вытекает самый общий вид решения типа бегущей волны

v = V (x — X(t)) + V0(t)

где v - рассматриваемая характеристика процесса (р, Т, с,...); x, t -

независимые переменные (по пространству и времени), X(t) и V0(t) -

V'		'
	г	А
	JT1		1Г
	* еды
0	г X

Рис. 5.1: Схема процесса распространения бегущей волны

Если явной зависимости от времени в процессе и в соответствующей модели нет, то бегущая волна распространяется равномерно. Это означает линейный характер зависимости сдвига по любой оси от t

v = V (x — (At — c)) + (j^t + ф)

где А,с,д,ф — константы, A,д — скорости сдвига по осям x и v.

Важный класс равномерно распространяющихся волн волны постоянной амплитуды или стационарные бегущие волны, когда д = 0

v = V (x — At + c) + ф

ф

удобства будем пологать эту константу равной нулю.

Отметим, что именно стационарные бегущие волны описывают распространение ударных и детонационных волны, волны пламени и целый ряд других явлений.

1. Стационарная бегущая волна первого рода

Возьмем хорошо знакомое уравнение Навье - Стокса для случая несжимаемой жидкости

dtv + vd_x v — —¹ d_xp + vdXxV (5.1)

^p

Здесь p - плотность, p - давление, v - скорость, v - вязкость. Пусть движение в среде происходит за счет начального импульса, то есть

p — const ^ d_xp — 0 (5.2)

тогда получаем уравнение Бюргерса

d_tv + vd_xv — vdX_xv

1. Рассмотрим вначале самый простой случай — движение идеальной (невязкой) жидкости с v — 0. При этом, очевидно, dv/dt — 0,

t

равномерного распространения бегущей волны.

Найдем скорость распространения фронта Л такой волны, считая волну стационарной (рис. ??).

( v1; £ > 0

v — V(x — Лt + c) — V(£) — < v₁ < v₂

[ ^v2; ^£ < ⁰

Рассмотрим движение флюида через поверхность фронта распространяющегося скачка. Поток массы слева-направо есть p(v₂ — Л);

p( Л - v1 )

со скачком, закон сохранения массы будет иметь вид

v2 - Л = Л - v1

Л =

Рис. 5.2: Схематический вид стационарной бегущей волны

откуда следует, что

V2 + V1 2

2. Учтем теперь влияние вязкости (v = 0) при построении решения уравнения Бюргерса типа бегущей волны

^v = ^{V (£)}; £ = ^{x — Лt} + ^c

Очевидно, что соответствующие частные производные будут в этом

случае иметь вид

dtv = П; = — Л^; dxv = V'£X = V'; dXxv = V''£X = V''.

Подставляя эти соотношения в (??), с учетом (??) получаем

-Л^ + VV' = vV'

или:

1

(5.3)

—■^AV' + -(V²)' = vV'

2

Интегрирование выражения (??) от —то до то с учетом того, что V^;(—to) — V^;(to) — 0 (рис. ??), преобразует его к виду

=0

—Л + i(v2 + v1)

откуда легко находится скорость фронта, которая совпадает с полученной ранее для случая идеальной жидкости

(5.4)

Если теперь проинтегрировать выражение (??) от то до £ захватывая фронт) с учетом того, что V(то) — v_1? а V'(то) — 0 (рис. ??),

получим

—Л^ — v1) + 1(V² — v2) — vV' 2

пли, после некоторого преобразования

d£

dV

v

(V — v1) —Л + 1 (V + v1)

Л

позволяет получить связь между координатой £ и функцией V в виде дифференциального уравнения

d£ _— v (V — v1)(V — v2)

(5.5)

2dV

В результате его интегрирования будем окончательно иметь

V - v2

(5.6)

ln

V - v1

v2 - v1

^£=

2v

£

c

Соотношение (??) описывает структуру переходной области v2 v1 £

Рис. 5.3: Структура фронта стационарной бегущей волны

Из него видно, что характерный масштаб толщины фронта

v

6 ~ v2 — v1

Проведенный анализ позволяет также доказать невозможность существования ударных волн разрежения. Данное утверждение эквивалентно утверждению о том, что решения типа бегущей волны, описывающего распространение скачка, при v₂ < v₁ не существует.

Действительно, перепишем уравнение (??) в следующем

виде

vV' = i(V — v1)(V — v2)

v2 < v < v1

всегда неотрицательна, а правая как раз наоборот оказывается всегда меньше нуля. Таким образом, попытка построения решения в v2 < v1

Полученное решение типа бегущей (с постоянной скоростью

A

бесконечном интервале) с начальными условиями “переходного” типа (рис. ??)

v(x, 0) = v₂; x < a v(x, 0) = vi; x > b

6. < v(x, 0) < v₂; d_xv(x, 0) < 0; a < x < b

для уравнения типа Бюргерса.

При этом скорость распространения скачка (или A

зависит от структуры волны, определяемой диссипативным параметром v. От v зависит лишь ширина фронта 5. Такие волны получили название “стационарной бегущей волны первого рода”.

2. Стационарная бегущая волна второго рода

Оказываетя, скорость фронта распространяющейся волны и его структура далеко не всегда оказываются независимыми. И чем сложнее природа протекающих процессов, тем теснее эта взаимосвязь.

Уравнение Бюргерса учитывает только чисто гидродинамическую нелинейность (наличие члена vd_xv). Диссипативные процессы (в данном случае — вязкость), формирующие профиль (структуру) волны, на скорость ее распространения (скорость распространения координаты ее центра) при этом не влияют. Но уравнения, описывающие распространение фронтов химических реакций, горения, детонации, ряда биологических процессов, содержат также нелинейные слагаемые, “отвечающие” за указанные сложные физи ко­я-s химические или социально-биологические процессы. Рассмотрим влияние этих сложных явлений (точнее - соответствующих членов уравнений) на скорость распространения порождаемых ими волн.

Для того, чтобы провести такой анализ, удобно исключить влияние уже рассмотренной выше гидродинамической нелинейности и сфокусировать внимание именно на нелинейностях указанных типов. Поэтому проведем дальнейшие исследования на примере так называемого полулинейного уравнения

du д ² и

Ж ^{— D}dX2 + ^F <u) (5-7)

где слагаемое общего вида F(u) описывает некие нелинейные объемные процессы в системе. Очевидно, случай F(u) > 0 соответствует генерации какой-либо субстанции в системе (например, росту температуры в результате горения или концентрации нового вещества в результате химической реакции), а противоположный случай F(u) < 0 - ее поглощению.

Укажем наиболее важные в практическом плане (и, соответственно, наиболее изученные в математическом) модификации этого уравнения.

1. При F(u) > 0; 0 < u < 1; F(0) — F(1) — 0; F'(1) < 0; F'(0) — 0 уравнение (??) носит название “уравнение Зельдовича” и в случае, когда F(u) — u²(1 — u), описывает волну распространения пламени.

2. При F(u) > 0; 0 < u < 1; F (0) — F (1) — 0; F' (0) > 0; F'(1) < 0 уравнение (??) называется уравнением Колмогорова- Петровского-Пискунова (КПП) и в случае F'(0) — к > 0 используется для описания логистического закона генерации в биологических системах и распространения фронтов химических реакций с диффузией. Характерный вид нелинейного члена F (и) при этом

F (и) = ku( 1 — и) (5.8)

Будем в дальнейшем для определенности интерпретировать уравнение КПП как уравнение распространения фронта химической

и

константы D k

невозмущенную, не охваченную реакцией зону и скорость химической реакции соответственно.

t = 0 и

реализуются начальные условия “переходного” типа (рис. ??).

Естественно ожидать, что при t ^ то сформируется некий

0. < и <

1A

которого не будет зависеть от начального распределения в переходной зоне.

Поэтому будем искать решение уравнения КПП в виде стационарной бегущей волны

u(x, t) = U(£); £ = x — At; A > 0

Подстановка данного соотношения в уравнение (??) с указанным нелинейным членом (??) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению

—AU = DU" + kU(1 — U); 0 < U < 1 (5.9)

Очевидные физические (и, соответственно,

математические) условия

£ ^ —ж; U = 1; U' = 0;

; (5.Ю)

£ ^ ж; U = 0; U' = 0;

Здесь (??), (??) есть нелинейная задача на собственные

Л

Проведем исследование уравнения (??) в переходной зоне. Понизим его порядок с помощью подстановки

и' = Р(£)

в результате получим

Dp' = —Лр — kU (1 — U)

или, с учетом того, что

Ре = Ри ^Ue = Р • Ри после несложных преобразований

_Р ^{Л kU(1} —^U) fsm ^Ри = ^— D ^— D p ^(5Л1)

Интегральная кривая этого уравнения, соответствующая решению уравнения (??), на фазовой плоскости (pOU) будет иметь качественный вид, представленный на рис. ??.

Особые точки уравнения (??), как это следует из (??) (см. также рис. ??)),U = 0,Р = 0 и U = 1,Р = 0, поскольку второе слагаемое в (??) дает в этих точках неопределенность типа 0/0.

Проанализируем поведение траектории р^ ) вблизи критической точки (0,0) то есть при U << 1. Во-первых, при указанном условии первое приближение для любой зависимости будет представлено

Рис. 5.4: Фазовый “портрет” уравнения (??^

(5.12)

первым (линейным) членом ее разложения в ряд Тэйлора. В данном случае оно будет иметь вид

p = —aU; а > 0

откуда

Ри — ^—а

С другой стороны, при U << 1 уравнение (??) можно линеаризовать отбросив квадратичный по U член

Ри =

А_ AU D Dp

Сопоставление полученных для pU соотношений дает, с учетом (??

а

Л к 1

^{—а — —} d + Da

которое легко приводится к квадратному уравнению

2. Л к

^{a —} D^a + D ^{— 0}

87

с дискриминантом

A² k

4D^{2 —} D

a

A² k

4D ^— D >

или

A² > 4Dk

Следовательно

A > 2\/Dk — Amin

Одним из основных результатов исследований Колмогорова, Петровского и Пискунова является доказательство того, что устойчивой оказывается волна, распространяющаяся именно со скоростью A_min. Форма этого устойчивого решения определяется из численного решения.

Вообще говоря, задача на собственные значения дает и другие значения скорости A. Например, существует A = 5^^ ~

0. 02Amin, для которого решение задачи может быть найдено даже в аналитическом виде. Но это, скорее, экзотическое исключение. Как правило, волны, распространяющиеся со скоростями, большими, чем A_min, оказываются неустойчивым и, и при t ^ то “выживают” только волны с A=A _min или очень близкими к ней значениями.

Полученное решение в виде стационарной волны, бегущей со скоростью A_min, естественно назвать “стационарной бегущей волной второго podd\

Принципиальное различие между волнами I и II рода очевидно. Если в случае стационарной бегущей волны I рода для определения ее скорости достаточно “внешних” законов сохранения, а от структуры фронта она не зависит, то для стационарной бегущей волны

II

внутренней структуры волны. При этом должно существовать решение типа бегущей волны внутри переходной области (рис. ??), которое при этом удовлетворяет краевым условиям на границах области, а скорость распространения фронта находится как некоторое собственное значение уравнений, описывающих диссипативные процессы в переходной области.