Глава 4

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода

Итог проведенного анализа можно сформулировать следующим образом. В случае классической линейной задачи о мгновенном точечном источнике, применяя анализ размерностей (П-теорему) и используя наличие интеграла массы или энергии, получаем автомодельное решение и структуру автомодельных переменных. Но в общем случае предположение о точечном характере выделения энергии содержит внутреннее противоречие, которое дает о себе знать в модифицированной (нелинейной) задаче о точечном источнике, где нужных нам решений (т.е. стандартного вида, получаемого из анализа размерностей) просто не существует. Отсюда — необходимость поиска новых методов решений на основе формулировки соответствующей вырожденной задачи (задачи о мгновенном точечном источнике). Поскольку стандартный подход не срабатывает, нужен другой подход. Нужны не точные решения

t

к бесконечности. При этом анализ размерностей непосредственно

l=0

неавтомодельными в том смысле, который до сих пор вкладывался в это понятие.

Дело в том. что невырожденность золичи приводит к появлению дополнительного параметра 77, который и “делает” задачу неавтомодельной — оказывается, что lim_n—0 Ф = 0, ж пли вообще / 3. Но!., при этом могут существовать промежуточные асимптотики, которые автомодельны. Причем отбор массы (при фильтрации) или выделение энергии (тепла) нельзя считать точечным ни на каком этапе рассмотрения задачи (это принципиальный момент - мы должны уйти от вырожден нос i n задачи в точку). Результатом такого “ухода” является возникновение инварианта

Ql^a = const

а

а только в ходе решения самой задачи по отысканию автомодельной асимптотики (в случае аналитического решения - из нелинейной задачи на собственные значения).

Таким образом, получаем новый тип автомодельных решений. От старого он отличается характером предельного перехода при П — 0 - теперь решение стремится не к автомодельному решению, а к автомодельной асимптот,иже.

Перейдем к формальной классификации автомодельных решений задач математической физики. В соответствии с П-теоремой (гл.1) функциональной зависимости в размерных переменных

а = f(a.i...a_n) соответствует функциональная зависимость П =

Ф(П1,..., П„—„) в безразмерных переменных, которые однозначно связаны с соответствующими размерными - ak+i ~ П^.

Причем на физическом уровне строгости рассуждений

определяющий параметр ак+ считается существенным, если 0.1 < П < 10

lim Ф(П_Ь...П_П) = Фо(= 0, то)

lli^o,TO

им можем пренебречь. При этом, очевидно, стремление должно быть достаточно быстрым, чтобы за границами указанного интервала, т.е. при П_г < 0.1 П_г > 10 Ф была достаточно близка к предельному значению Ф_о. Тогда

^П = ^Фо^(ПЪ ...^, П^—1^{, П}*+ь ...^{, П}п—к⁾

Это соответствует полной автомодельности по параметру П (его можно “выкинуть” — исключить из рассмотрения).

Но предел (конечный и неравный нулю) может не

существовать. Это означает, что определяющий параметр ак+ остается все время существенным. Поэтому выкинуть его нельзя. И, следовательно, полной автомодельности по П нет. Но и при этом, как было обнаружено в гл.6, в принципе существуют ситуации, когда

Ф

что существует такое а, ^{чт0 П}Р^и П ^ 0, то

или

Тогда при достаточно больших или малых n_i с необходимой

точностью

п* — пп—^а = фп—^а = Ф1 (П1,ni-1, п,+_ь.., п„-к)

п* — ^а ( ^ak+i \ — п* — ^{а 1}

П^Р П^г \ n^Pk+i П^Гк+Ч nР ^{— а}Рк+г ^{r — ar}k+i _п а

^а1 ...^(ак \^а1 ...^ак ) ^a1 ...^ак ^ak+i

Но вид п* не может быть получен го анализа размерностей, т.к. а из него не определяется. При этом параметр п* по-прежнему содержит переменную ак+,, которая не перестает быть существенной.

Аналогичная ситуация имеет место в случае, когда за указанный интервал “существенности” выходят два параметра: п, ^

0. и п, ^ {⁰, а соответствующих пределов (конечных и неравных

нулю) не существует. Возможен и здесь исключительный случай, когда существуют такие а и в что

_пlim п—^аФ — Ф2(п_ь ..,п,—1,п,+1,.., ^пв,...,п„—к) — п*

п^о,<» п^в

i

Это означает неполную автомодельность поп, и п,-. Выкинуть их нельзя,

Ф

Таким образом, существуют три возможности:

1. Полная автомодельность по какому-либо параметру

подобия п,. Это значит, что при п, ^ существует НшФ — и, следовательно,

1). п, и ак+, исключаются из рассмотрения,

Ф

3). все параметры подобия определяются при помощи стандартного анализа размерностей.

2. Неполная автомодельность по параметрам подобия, например, п,, п, В этом случае при п,,п, ^ 0, то не существует lim Ф —

0. ж

П = П“ Ф1(И,, П1,.., Hi—1, П.+1,.., П„—k }^)(ni“) ⁿi

При ЭТОМ

1. . at+_i и at+j не исключаются из рассмотрения,

Ф

3). не все параметры подобия (а, в) определяются из анализа размерностей.

3. Отсутствие автомодельности решения по какому-либо параметру П^ То есть для любого i при П_i — 0, ж не существует

lim Ф

исключения, которые приводят к варианту II.

Отсюда вытекает практическая рекомендация по анализу и решению задач математической физики. Предполагаем вначале возможность варианта I и пытаемся его реализовать. Если исследования показывают, что это невозможно, предполагаем наличие в задаче варианта II. Если не удается реализовать и его, то переходим к отысканию обычного неавтомодельного решения (вариант III).

При этом в принципе возможен случай существования при П, — 0, ж решения вида Ф = Ф(ЩФз(...) + о(Ф(П,)) , где Ф(П,) имеет нестепенной характер. Но это становится ясно только после получения полного неавтомодельного решения! С понятием полной и неполной автомодельности неразрывно связаны понятия об автомодельных решениях 1 и 2 рода. Если существуют автомодельные асимптотики и автомодельные переменные (параметры подобия) - степенные одночлены, а не Ф(П,), о которой только что шла речь - то

эти асимптотики отражают I или II варианты поведения системы.

Автомодельное решение 1 рода имеет место, когда предельный переход от неавтомодельной невырожденной задачи к автомодельной вырожденной задаче регулярен, т.е. имеет место полная автомодельность по параметруП^, делавшему задачу невырожденной, а ее решение неавтомодельным. Выражения для всех автомодельных переменных такой задачи (зависимых и независимых) могут быть при этом получены из анализа размерностей.

Автомодельное решение 2 рода возникает, когда предельный переход от неавтомодельной невырожденной задачи к автомодельной вырожденной задаче нерегулярен, но имеет место неполная автомодельность по П^. Выражения для всех автомодельных переменных (зависимых и независимых), вообще говоря, не могут быть при этом получены из анализа размерности (т.е. для каких-то может быть и могут - скорее всего, для независимых - но обязательно существуют и такие, для которых не могут - скорее всего, для зависимых). При этом показатель а (пли показатели а, в ^и так далее) могут быть определены из решения нелинейной задачи (для О.Д.У.) на собственные значения. Что касается численного коэффициента пропорциональности A в получаемом решении (см. главу 5), то он определяется только из численных расчетов эволюции решения невырожденной задачи к автомодельной ассимптотике.

Пример автомодельной задачи 1 рода - задача о мгновенном точечном тепловом источнике.

d_tu = (4.1)

Н.У.: u(x, 0) = 0 при x = 0; f u(x, 0)dx = Q

—ж

Г.У.: и(ж, t) = 0.

Соответствующая реальная (невырожденная) задача с

l

уравнение (??)

ж

НУ. : u(x, 0) = (Q/l)u₀(x/l); У u₀(£)d£ = 1 (£ = x/l) (4.2)

—ж

Г.У. : u^,t) = 0 (4.3) Для нее анализ размерностей дает u = f (t,x,Q,l) ; П = Ф(П₁, П₂); П = u(—Kt/Q); П₁ = x/—Kt; П₂ = l/—Kt Легко показать, что при l — 0 ил и t — ж, т. е. когда П₂ — 0,

существует

jlim^ Ф(П₁, П₂) =0, ж

Действительно, используя точное решение неавтомодельной задачи (??) - (??), известное из математической теории теплопроводности, можно записать его в наших переменных

^Ф = 2—n_Z u»(£) ехР (—) ^d£

—П? 4

Следовательно, при П₂ — 0 зависимость от пего исчезает

(4.4)

Ф — Ф(П₁,0) = ¹ ехр ²v ^п

(при получении этого соотношения учтено условие (??)) ^и

^П2 ^П2

нулю с любой наперед заданной точностью можно считать

Ф(П1, П2) = Ф(П1,0) = Фо(П1)

А это уже решение вырожденной автомодельной задачи cl = 0. Используя полученный результат, несложно получить закон затухания температуры в точке x = 0, где она, очевидно, максимальна. Для вырожденной задачи анализ размерностей дает u_max = f (£,k,Q), П= u(\/Kt/Q), и, соответственно

^Птах — ^umax (л/Kt/Q) (4.5)

Но П_тоаж = Фо(П₁ = 0) и, следовательно, из (??) получаем П_тах = 1/^у^П. Сопоставив данный результат с соотношением (??), приходим к искомой зависимости

= Q Q ^max VKt

Пример автомодельной задачи 2 рода - модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике.

Н.У. и Г.У. в этом случае те же, но уравнение - модифицировано

d_tu = Kd|_xu; d_tu > 0 d_tu = K₁d|_xu; d_tu < 0

При к = к₁ оно нелинейно, а анализ размерностей дает: u = f (t, x, к, Q, l, к₁) П = Ф(П₁, П₂, П₃) П = u(VKt/Q); П₁ = x/VKt; П₂ = 1^л/к^; П₃ = к₁ /к.

В гл.5 было показано, что в отличие от предыдущего случая limn₂^o Ф(П₁, П₂, П₃) = 0 при П₃ > 1 и limn₂^o Ф(П₁, П₂, П₃) = то при П₃ < 1. Но существует степенная асимптотика Ф = П₂^аФ₁ (П₁, П₃) + о(П₂“), вде а = а(П₃) (а > 0 при П₃ > 0 ; а = 0 при П₃ = 0 ; а < 0 при П3 < 0

Следовательно, имеет место функциональная зависимость п* — Ф:(п_:, п₃), где

/ \¹+^а _п* _— и ^{(Kt) 2}

Ql^a

При этом:

_п*

анализа размерностей; а

собственные значения;

3. решение находится с точностью до константы Л; _п^* _l

В этом случае закон поведения u_max определяется следующим образом

1+а

и — Ql^l^, пз)(к<)^—

откуда

1+а

Umax — Ql^aФ1(0, Пз)(^) ^— ~

то есть закон затухания также имеет степеную форму, так какФ^О, П₃) — F(П₃) — Л — const по t, и, следовательно,

1 + а

^umax ^ ^{t 2}

а

из решения нелинейной задачи на собственные значения. Но при этом автомодельность, хоть и неполная, существует, поэтому, например, для

^п1

размерностей: П — x/y/Kt. Отсюда для координаты поверхности перехода режимов процесса

^JX= — ^£о(Пз)

л/Kt

_Где £о ^_ безразмерная координата фронта распостранения разрыва (или смены режима), которая также определяется из решения нелинейной задачи. Следовательно сам закон распространения фронта изменения режима (с точностью до константы £₀(П₃)) может быть определен из анализа размерностей

xo(t) ~ t²