Глава 7 177

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2 187

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q 187

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением 200

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 226

К у 266

^А Нл(М/ К \ 296

(II-я промежуточная стадия процесса)

Таким образом, полученное аналитическое решение справедливо в достаточно широком временном диапазоне, охватывающем

t

10^—2x°/k < t < 10²x0/k

Полученный результат отражает суть общей ситуации АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ могут быть использованы для описания поведения не только идеальных, “вырожденных” физических систем, когда (—то < x < то) или [0 < x < то), a h = 0, но и “промежуточно-асимптотическое” поведение решений широкого класса

задач в тех областях (в тех диапазонах времени), где эти решения уже перестают зависеть от деталей начального распределения (и тогда можно считать, что h = 0) но еще не зависят существенно от условий на границах (и тогда можно считать, что x = ±го), а в целом система еще далека от предельного состояния.

Глава 2

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде

Рассмотрим теперь принципиально иной тип нелинейности, обусловленной не характером воздействия (например, очень высокими температурами при лучистом теплообмене) и не свойствами выделяющегося из источника агента (что имеет место при фильтрации газа), а собственно нелинейным поведением самой проводящей среды. Такого рода нелинейность возникает из-за гистерезиса характеристик среды при изменении направленности протекающих поцессов.

То есть физические объекты или системы по-разному ведут себя при нагрузке и разгрузке, при нагревании и остывании, при наложении и снятии магнитного поля, при заполнении и осушении порового пространства и т.д.

Проанализируем, к чему ведет такое нарушение линейности для процессов, описываемых уравнением теплопроводности. В случае распространения тепла указанный гистерезис будет состоять в том, что процесс будет характеризоваться различными коэффициентами температуропроводности при нагревании (к) и остывании (ki).

48

Соответственно уравнение теплопроводности

d_tu = Kd|_xu (2.1)

примет при этом специфический вид

d_tu = Kd|_xu, при d_tU > 0 - нагревание

d_tu = K₁dX_xu, при d_tU < 0 - охлаждение

Аналогичная ситуация возникает в другом характерном примере - для случая хорошо известного уравнения фильтрации упругой жидкости в упруго-пластической пористой среде

{d_t(mp) + div(pv) = 0, v = — (k/^)Vp.

Линеаризованные уравнения состояния флюида и пористой среды имеют при этом вид

р = ро(1 + в^р); m = mo(1 — вг£а)

где плотность флюида р определяется давлением в ней р (поровым давлением), а пористость - давлением в скелете породы а (первым инвариантом тензора напряжений в твердой матрице). Величины p_o и есть начальные значения плотности флюида и пористости среды соответственно при давлениях p_o и ао₅ а в и вг ^ сжимаемости соответственно флюида и пористой среды.

Если рассматривать насыщенный флюидом пласт как замкнутую систему, которая реагирует на изменение внешних нагрузок как единое целое, то суммарное давление (а +р), выдерживаемое скелетом и насыщающим флюидом, можно считать постоянным. Это означает, что

Рис. 2.1: Диаграмма изменения пористости упруго-пластической среды при нагрузке и разгрузке

если падает давление во флюиде, то возрастает нагрузка на скелет, и наоборот. Таким образом

а + р = ао + ро, а-ао = -(р-ро),

£а = — ^р.

Отбрасывая величины, имеющие более чем первый порядок малости по £а и £р, получаем

(2.2)

d_tp = кДр

где к - коэффициент пьезопроводности

k 1

к =

ДШов + вг

Упруго-пластический характер поведения скелета пористой среды проявляется в том, что собственно зависимость пористости от давления является линейной (это проявление упругости), но при снятии нагрузки среда не возвращается в исходное состояние, появляются остаточные деформации (это проявление пластичности). На рис.?? показан пример такого рода диаграммы нагрузка - разгрузка, содержащей описанный гистерезис. Следовательно

d_tm = —шов_гd_ta = шов_гd_tp ; d_ta > 0 а d_tp < 0 d_tm = — тов_г1д^ = moв_г1д_tp ; d_ta < 0 a d_tp > 0

^вг = ^вг1

откуда для величины u = p — p_o = ^p уравнение (??) приобретает вид

d_tu = K(d_tu)Au (2.3)

где коэффициент к оказывается функцией величины d_tu (рис.??).

Рассмотрим задачу о мгновенном отборе из малой области конечной массы жидкости в одномерном случае. Уравнение (??) примет при этом вид

d_tu = K(d_tu)dX_xu

а начальные условия

u(x, 0) = 0, x = 0;

СЮ

J u(x,0)dx = Q, u(x = t) = 0.

— Ю

По сравнению с рассмотренным ранее решением задачи в классической постановке (для линейного уравнения), число определяющих параметров для модифицированной задачи дополняется постоянным безразмерным параметром £ = ^/к, т.к. к = кь Поэтому попытаемся, опираясь на предыдущий опыт, искать решение в виде

^u = -7=^ф(£,£); ^£ (2-4) Vftt \/кГ

о

к

к

дм

Рис. 2.2: График зависимости к (d_tu) для упруго-пластической среды (случай мгновенной откачки)

Введем границу раздела областей нагрузки (3_tu > 0) и разгрузки {d_tu < 0 £₀ = £₀(^) ^и подставим (??) в уравнение (??). В результате получим

(2.5)

_£Ф" + 1/2(£Ф)' = 0 0 <|£|< £о, Ф'' + 1/2(£Ф)' = 0 £о < |£| < гс;

Поясним полученный результат. Во втором уравнении системы (??) £ = x/^/Kt, т.е. все как обычно, а в первом уравнении £ = £1 = x/Следовательно, переходя к единой переменной £, имеем:

соответственно:

d£² к d£^{2 £}(i£²;

d² к₁ d² d²

ТТо = т-ттг =

—£ Фи — = £Ф^.

£1^Ф6

\

к₁ м к ^

Таким образом, в первом уравнении системы (??) при старшей производной возникает коэффициент е. В результате для функции Ф получаем обыкновенное дифференциальное уравнение с разрывным коэффициентом при старшей производной (??). Интегрируя (??), получаем

| еФ' + 1/2£Ф = C1 0 < |£| < £0,

Ф' + 1/2£Ф = C2 £0 < |£| < то;

Определим константы интегрирования C1 и С₂.

1. Вначале установим значение C1, для чего рассмотрим сумму в первой

£=0

Ф^'(0) = 0 из соображений симметрии;

£Ф = 0, т.к. £ = 0. Поэтому С₁ = 0

2. Далее найдем С₂, определив сумму во второй части уравнения при ^£ ^ ^то- Ф^'(то) = 0

£Ф = 0, т.к. Ф — — 6р, следовательно, суммарная масса

Ф

функция, интегрируемая на бесконечном интервале, а значит, на

бесконечности она ведет себя — 1/£^п, где n > 2. Поэтому С₂ = 0

Дальнейшее интегрирование с учетом полученных значений констант C1, C₂ дает

1. d Ф 1 1 ₂ Ф 1 ₂

^еФ = ^— 0^£Ф; = ^— o“^£d£ = ^— ~A~^{d£ ;} = ^— ТТ^{£ ;}

2. Ф 2е 4е Ф₀₁ 4е

ф = Фо1в^— ^; 0 < |£| < £о

-х-/ 1 ^^ф 1 J.JJ. ¹ ,₁2 1 ^{Ф 1} 12

Ф = —тт£ Ф; _т = —тт £d£ = —т d£ ; in —— = —- £ ;

Ф 2 4 Ф_о2 4

Ф = Фо2б ⁴ ; £₀ < |£| < ю

Распределения давления u и потока d_xu есть величины непрерывные, поэтому из физических соображений следует, что Ф и Ф'

также непрерывные функции, в том числе и при £ = £_о

,2 ,2

.г.

Ф_о1е ^4е = Ф_о2е ⁴

* £о —,2 _Л £о — £

^—Ф°12£^{e 4£} = ^{— Ф}°2~2 ^{6 4}

Вводя очевидные обозначения для коэффициентов при ^Фо1^{, Ф}о2

аФо! + ЬФо2 = 0 сФо1 + ^Фо2 = 0

Очевидно, что определитель этой системы не равен нулю, но в этом случае однородная система имеет только тривиальное решение, а это означает, что решение вида

^u = -7=^Ф(£,£

л/кГ

Ф=0

удовлетворяет условию

J udx = Q = 0